Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45409 / 95267
↖ ↑ ↗
← S 62.958969°
W 55.280457°		 ← 138.86 m → S 62.958969°
W 55.277710°		 →
↑
138.82 m
↓
↑
138.82 m
↓
S 62.960218°
W 55.280457°		 ← 138.85 m →
19 276 m²		 S 62.960218°
W 55.277710°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346446990966797 y=0.726833343505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346446990966797 × 217)
    floor (0.346446990966797 × 131072)
    floor (45409.5)     		tx = 45409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726833343505859 × 217)
    floor (0.726833343505859 × 131072)
    floor (95267.5)     		ty = 95267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45409 / 95267 ti = "17/45409/95267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45409/95267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45409 ÷ 217
    45409 ÷ 131072     		x = 0.346443176269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95267 ÷ 217
    95267 ÷ 131072     		y = 0.726829528808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346443176269531 × 2 - 1) × π
    -0.307113647460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.96482598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726829528808594 × 2 - 1) × π
    -0.453659057617188 × 3.1415926535     		Φ = -1.42521196260389
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96482598} λ = -0.96482598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42521196260389))-π/2
    2×atan(0.240457489810641)-π/2
    2×0.235977509362623-π/2
    0.471955018725245-1.57079632675     		φ = -1.09884131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96482598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.280457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09884131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.958969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45409 KachelY 95267 -0.96482598 -1.09884131 -55.280457 -62.958969
    Oben rechts KachelX + 1 45410 KachelY 95267 -0.96477804 -1.09884131 -55.277710 -62.958969
    Unten links KachelX 45409 KachelY + 1 95268 -0.96482598 -1.09886310 -55.280457 -62.960218
    Unten rechts KachelX + 1 45410 KachelY + 1 95268 -0.96477804 -1.09886310 -55.277710 -62.960218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09884131--1.09886310) × R
    2.17899999999105e-05 × 6371000     		dl = 138.82408999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09884131--1.09886310) × R
    2.17899999999105e-05 × 6371000     		dr = 138.82408999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96482598--0.96477804) × cos(-1.09884131) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.454628449760004 × 6371000     		do = 138.855230692911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96482598--0.96477804) × cos(-1.09886310) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.454609041709062 × 6371000     		du = 138.84930297459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09884131)-sin(-1.09886310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454628449760004-0.454609041709062)×R²
    abs(-0.96477804--0.96482598)×1.94080509413608e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.94080509413608e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.94080509413608e-05×40589641000000     		ar = 19276.0395884669m²