Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45409 / 94425
↖ ↑ ↗
← S 61.888520°
W 55.280457°		 ← 143.91 m → S 61.888520°
W 55.277710°		 →
↑
143.92 m
↓
↑
143.92 m
↓
S 61.889814°
W 55.280457°		 ← 143.91 m →
20 712 m²		 S 61.889814°
W 55.277710°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346446990966797 y=0.720409393310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346446990966797 × 217)
    floor (0.346446990966797 × 131072)
    floor (45409.5)     		tx = 45409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720409393310547 × 217)
    floor (0.720409393310547 × 131072)
    floor (94425.5)     		ty = 94425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45409 / 94425 ti = "17/45409/94425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45409/94425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45409 ÷ 217
    45409 ÷ 131072     		x = 0.346443176269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94425 ÷ 217
    94425 ÷ 131072     		y = 0.720405578613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346443176269531 × 2 - 1) × π
    -0.307113647460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.96482598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.720405578613281 × 2 - 1) × π
    -0.440811157226562 × 3.1415926535     		Φ = -1.3848490931238
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96482598} λ = -0.96482598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.3848490931238))-π/2
    2×atan(0.250361578224802)-π/2
    2×0.245318943081114-π/2
    0.490637886162228-1.57079632675     		φ = -1.08015844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96482598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.280457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08015844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.888520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45409 KachelY 94425 -0.96482598 -1.08015844 -55.280457 -61.888520
    Oben rechts KachelX + 1 45410 KachelY 94425 -0.96477804 -1.08015844 -55.277710 -61.888520
    Unten links KachelX 45409 KachelY + 1 94426 -0.96482598 -1.08018103 -55.280457 -61.889814
    Unten rechts KachelX + 1 45410 KachelY + 1 94426 -0.96477804 -1.08018103 -55.277710 -61.889814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08015844--1.08018103) × R
    2.25900000001555e-05 × 6371000     		dl = 143.920890000991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08015844--1.08018103) × R
    2.25900000001555e-05 × 6371000     		dr = 143.920890000991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96482598--0.96477804) × cos(-1.08015844) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.471188620863469 × 6371000     		do = 143.91313320671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96482598--0.96477804) × cos(-1.08018103) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.471168695629678 × 6371000     		du = 143.907047527435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08015844)-sin(-1.08018103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.471188620863469-0.471168695629678)×R²
    abs(-0.96477804--0.96482598)×1.99252337910183e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.99252337910183e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.99252337910183e-05×40589641000000     		ar = 20711.668286682m²