Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 454 / 326
↖ ↑ ↗
← N 76.598545°
W100.195313°		 ← 4 530.22 m → N 76.598545°
W100.019531°		 →
↑
4 536.98 m
↓
↑
4 536.98 m
↓
N 76.557743°
W100.195313°		 ← 4 543.76 m →
20 584 238 m²		 N 76.557743°
W100.019531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221923828125 y=0.159423828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221923828125 × 211)
    floor (0.221923828125 × 2048)
    floor (454.5)     		tx = 454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159423828125 × 211)
    floor (0.159423828125 × 2048)
    floor (326.5)     		ty = 326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 454 / 326 ti = "11/454/326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/454/326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 454 ÷ 211
    454 ÷ 2048     		x = 0.2216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 326 ÷ 211
    326 ÷ 2048     		y = 0.1591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2216796875 × 2 - 1) × π
    -0.556640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.74873810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1591796875 × 2 - 1) × π
    0.681640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.14143717982715
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74873810} λ = -1.74873810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14143717982715))-π/2
    2×atan(8.51166163112914)-π/2
    2×1.4538465702352-π/2
    2.9076931404704-1.57079632675     		φ = 1.33689681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74873810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.195313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33689681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.598545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 454 KachelY 326 -1.74873810 1.33689681 -100.195313 76.598545
    Oben rechts KachelX + 1 455 KachelY 326 -1.74567014 1.33689681 -100.019531 76.598545
    Unten links KachelX 454 KachelY + 1 327 -1.74873810 1.33618468 -100.195313 76.557743
    Unten rechts KachelX + 1 455 KachelY + 1 327 -1.74567014 1.33618468 -100.019531 76.557743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33689681-1.33618468) × R
    0.000712130000000144 × 6371000     		dl = 4536.98023000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33689681-1.33618468) × R
    0.000712130000000144 × 6371000     		dr = 4536.98023000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74873810--1.74567014) × cos(1.33689681) × R
    0.00306795999999987 × 0.231772609035297 × 6371000     		do = 4530.2211954269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74873810--1.74567014) × cos(1.33618468) × R
    0.00306795999999987 × 0.232465288901964 × 6371000     		du = 4543.76029750923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33689681)-sin(1.33618468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231772609035297-0.232465288901964)×R²
    abs(-1.74567014--1.74873810)×0.000692679866666379×R²
    0.00306795999999987×0.000692679866666379×6371000²
    0.00306795999999987×0.000692679866666379×40589641000000     		ar = 20584238.1903333m²