Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 454 / 282
↖ ↑ ↗
← N 62.593341°
W 20.390625°		 ← 17.994 km → N 62.593341°
W 20.039063°		 →
↑
18.043 km
↓
↑
18.043 km
↓
N 62.431074°
W 20.390625°		 ← 18.092 km →
325.559 km²		 N 62.431074°
W 20.039063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44384765625 y=0.27587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44384765625 × 210)
    floor (0.44384765625 × 1024)
    floor (454.5)     		tx = 454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.27587890625 × 210)
    floor (0.27587890625 × 1024)
    floor (282.5)     		ty = 282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 454 / 282 ti = "10/454/282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/454/282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 454 ÷ 210
    454 ÷ 1024     		x = 0.443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 282 ÷ 210
    282 ÷ 1024     		y = 0.275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443359375 × 2 - 1) × π
    -0.11328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35588354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.275390625 × 2 - 1) × π
    0.44921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.41126232481445
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35588354} λ = -0.35588354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41126232481445))-π/2
    2×atan(4.10112909496882)-π/2
    2×1.33162810704246-π/2
    2.66325621408493-1.57079632675     		φ = 1.09245989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35588354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.390625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09245989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.593341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 454 KachelY 282 -0.35588354 1.09245989 -20.390625 62.593341
    Oben rechts KachelX + 1 455 KachelY 282 -0.34974762 1.09245989 -20.039063 62.593341
    Unten links KachelX 454 KachelY + 1 283 -0.35588354 1.08962780 -20.390625 62.431074
    Unten rechts KachelX + 1 455 KachelY + 1 283 -0.34974762 1.08962780 -20.039063 62.431074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09245989-1.08962780) × R
    0.00283209000000006 × 6371000     		dl = 18043.2453900004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09245989-1.08962780) × R
    0.00283209000000006 × 6371000     		dr = 18043.2453900004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35588354--0.34974762) × cos(1.09245989) × R
    0.00613592000000002 × 0.460302965131908 × 6371000     		do = 17994.1388038734m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35588354--0.34974762) × cos(1.08962780) × R
    0.00613592000000002 × 0.462815337370534 × 6371000     		du = 18092.3523245617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09245989)-sin(1.08962780))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.460302965131908-0.462815337370534)×R²
    abs(-0.34974762--0.35588354)×0.00251237223862649×R²
    0.00613592000000002×0.00251237223862649×6371000²
    0.00613592000000002×0.00251237223862649×40589641000000     		ar = 325558924.949026m²