Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 454 / 220
↖ ↑ ↗
← N 71.074057°
W 20.390625°		 ← 12.679 km → N 71.074057°
W 20.039063°		 →
↑
12.716 km
↓
↑
12.716 km
↓
N 70.959697°
W 20.390625°		 ← 12.753 km →
161.702 km²		 N 70.959697°
W 20.039063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44384765625 y=0.21533203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44384765625 × 210)
    floor (0.44384765625 × 1024)
    floor (454.5)     		tx = 454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21533203125 × 210)
    floor (0.21533203125 × 1024)
    floor (220.5)     		ty = 220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 454 / 220 ti = "10/454/220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/454/220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 454 ÷ 210
    454 ÷ 1024     		x = 0.443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 220 ÷ 210
    220 ÷ 1024     		y = 0.21484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443359375 × 2 - 1) × π
    -0.11328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35588354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21484375 × 2 - 1) × π
    0.5703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.79168956019922
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35588354} λ = -0.35588354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79168956019922))-π/2
    2×atan(5.99958056048846)-π/2
    2×1.40563631240615-π/2
    2.81127262481229-1.57079632675     		φ = 1.24047630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35588354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.390625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24047630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.074057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 454 KachelY 220 -0.35588354 1.24047630 -20.390625 71.074057
    Oben rechts KachelX + 1 455 KachelY 220 -0.34974762 1.24047630 -20.039063 71.074057
    Unten links KachelX 454 KachelY + 1 221 -0.35588354 1.23848035 -20.390625 70.959697
    Unten rechts KachelX + 1 455 KachelY + 1 221 -0.34974762 1.23848035 -20.039063 70.959697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24047630-1.23848035) × R
    0.00199595000000019 × 6371000     		dl = 12716.1974500012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24047630-1.23848035) × R
    0.00199595000000019 × 6371000     		dr = 12716.1974500012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35588354--0.34974762) × cos(1.24047630) × R
    0.00613592000000002 × 0.324345770694955 × 6371000     		do = 12679.3074571262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35588354--0.34974762) × cos(1.23848035) × R
    0.00613592000000002 × 0.32623316950853 × 6371000     		du = 12753.0895502309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24047630)-sin(1.23848035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324345770694955-0.32623316950853)×R²
    abs(-0.34974762--0.35588354)×0.00188739881357503×R²
    0.00613592000000002×0.00188739881357503×6371000²
    0.00613592000000002×0.00188739881357503×40589641000000     		ar = 161701744.668702m²