Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45399 / 94938
↖ ↑ ↗
← S 62.545260°
W 55.307922°		 ← 140.82 m → S 62.545260°
W 55.305176°		 →
↑
140.80 m
↓
↑
140.80 m
↓
S 62.546526°
W 55.307922°		 ← 140.81 m →
19 826 m²		 S 62.546526°
W 55.305176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346370697021484 y=0.724323272705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346370697021484 × 217)
    floor (0.346370697021484 × 131072)
    floor (45399.5)     		tx = 45399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724323272705078 × 217)
    floor (0.724323272705078 × 131072)
    floor (94938.5)     		ty = 94938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45399 / 94938 ti = "17/45399/94938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45399/94938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45399 ÷ 217
    45399 ÷ 131072     		x = 0.346366882324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94938 ÷ 217
    94938 ÷ 131072     		y = 0.724319458007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346366882324219 × 2 - 1) × π
    -0.307266235351562 × 3.1415926535     		Λ = -0.96530535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724319458007812 × 2 - 1) × π
    -0.448638916015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.40944072262889
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96530535} λ = -0.96530535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40944072262889))-π/2
    2×atan(0.244279865157065)-π/2
    2×0.239587803322226-π/2
    0.479175606644453-1.57079632675     		φ = -1.09162072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96530535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.307922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09162072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.545260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45399 KachelY 94938 -0.96530535 -1.09162072 -55.307922 -62.545260
    Oben rechts KachelX + 1 45400 KachelY 94938 -0.96525741 -1.09162072 -55.305176 -62.545260
    Unten links KachelX 45399 KachelY + 1 94939 -0.96530535 -1.09164282 -55.307922 -62.546526
    Unten rechts KachelX + 1 45400 KachelY + 1 94939 -0.96525741 -1.09164282 -55.305176 -62.546526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09162072--1.09164282) × R
    2.20999999998028e-05 × 6371000     		dl = 140.799099998744m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09162072--1.09164282) × R
    2.20999999998028e-05 × 6371000     		dr = 140.799099998744m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96530535--0.96525741) × cos(-1.09162072) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.461047786118877 × 6371000     		do = 140.815861250627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96530535--0.96525741) × cos(-1.09164282) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.461028175011961 × 6371000     		du = 140.809871513785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09162072)-sin(-1.09164282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461047786118877-0.461028175011961)×R²
    abs(-0.96525741--0.96530535)×1.9611106915951e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.9611106915951e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.9611106915951e-05×40589641000000     		ar = 19826.3248555684m²