Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45398 / 94939
↖ ↑ ↗
← S 62.546526°
W 55.310669°		 ← 140.78 m → S 62.546526°
W 55.307922°		 →
↑
140.80 m
↓
↑
140.80 m
↓
S 62.547793°
W 55.310669°		 ← 140.77 m →
19 821 m²		 S 62.547793°
W 55.307922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45398 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346363067626953 y=0.724330902099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346363067626953 × 217)
    floor (0.346363067626953 × 131072)
    floor (45398.5)     		tx = 45398
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724330902099609 × 217)
    floor (0.724330902099609 × 131072)
    floor (94939.5)     		ty = 94939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45398 / 94939 ti = "17/45398/94939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45398/94939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45398 ÷ 217
    45398 ÷ 131072     		x = 0.346359252929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94939 ÷ 217
    94939 ÷ 131072     		y = 0.724327087402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346359252929688 × 2 - 1) × π
    -0.307281494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.96535328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724327087402344 × 2 - 1) × π
    -0.448654174804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.40948865952851
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96535328} λ = -0.96535328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40948865952851))-π/2
    2×atan(0.244268155418356)-π/2
    2×0.239576752956541-π/2
    0.479153505913082-1.57079632675     		φ = -1.09164282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96535328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.310669°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09164282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.546526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45398 KachelY 94939 -0.96535328 -1.09164282 -55.310669 -62.546526
    Oben rechts KachelX + 1 45399 KachelY 94939 -0.96530535 -1.09164282 -55.307922 -62.546526
    Unten links KachelX 45398 KachelY + 1 94940 -0.96535328 -1.09166492 -55.310669 -62.547793
    Unten rechts KachelX + 1 45399 KachelY + 1 94940 -0.96530535 -1.09166492 -55.307922 -62.547793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09164282--1.09166492) × R
    2.21000000000249e-05 × 6371000     		dl = 140.799100000158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09164282--1.09166492) × R
    2.21000000000249e-05 × 6371000     		dr = 140.799100000158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96535328--0.96530535) × cos(-1.09164282) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.461028175011961 × 6371000     		do = 140.780499408934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96535328--0.96530535) × cos(-1.09166492) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.461008563679874 × 6371000     		du = 140.774510852757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09164282)-sin(-1.09166492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461028175011961-0.461008563679874)×R²
    abs(-0.96530535--0.96535328)×1.9611332086944e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.9611332086944e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.9611332086944e-05×40589641000000     		ar = 19821.3460235847m²