Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45394 / 95125
↖ ↑ ↗
← S 62.781119°
W 55.321655°		 ← 139.67 m → S 62.781119°
W 55.318909°		 →
↑
139.65 m
↓
↑
139.65 m
↓
S 62.782375°
W 55.321655°		 ← 139.66 m →
19 505 m²		 S 62.782375°
W 55.318909°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346332550048828 y=0.725749969482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346332550048828 × 217)
    floor (0.346332550048828 × 131072)
    floor (45394.5)     		tx = 45394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725749969482422 × 217)
    floor (0.725749969482422 × 131072)
    floor (95125.5)     		ty = 95125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45394 / 95125 ti = "17/45394/95125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45394/95125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45394 ÷ 217
    45394 ÷ 131072     		x = 0.346328735351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95125 ÷ 217
    95125 ÷ 131072     		y = 0.725746154785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346328735351562 × 2 - 1) × π
    -0.307342529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.96554503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725746154785156 × 2 - 1) × π
    -0.451492309570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.41840492285784
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96554503} λ = -0.96554503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41840492285784))-π/2
    2×atan(0.242099877056878)-π/2
    2×0.237529544013934-π/2
    0.475059088027869-1.57079632675     		φ = -1.09573724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96554503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.321655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09573724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.781119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45394 KachelY 95125 -0.96554503 -1.09573724 -55.321655 -62.781119
    Oben rechts KachelX + 1 45395 KachelY 95125 -0.96549710 -1.09573724 -55.318909 -62.781119
    Unten links KachelX 45394 KachelY + 1 95126 -0.96554503 -1.09575916 -55.321655 -62.782375
    Unten rechts KachelX + 1 45395 KachelY + 1 95126 -0.96549710 -1.09575916 -55.318909 -62.782375
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09573724--1.09575916) × R
    2.19200000000086e-05 × 6371000     		dl = 139.652320000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09573724--1.09575916) × R
    2.19200000000086e-05 × 6371000     		dr = 139.652320000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96554503--0.96549710) × cos(-1.09573724) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.457390991837229 × 6371000     		do = 139.669841771215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96554503--0.96549710) × cos(-1.09575916) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.457371499023258 × 6371000     		du = 139.663889405971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09573724)-sin(-1.09575916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457390991837229-0.457371499023258)×R²
    abs(-0.96549710--0.96554503)×1.9492813970734e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.9492813970734e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.9492813970734e-05×40589641000000     		ar = 19504.8018073653m²