Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45391 / 94995
↖ ↑ ↗
← S 62.617352°
W 55.329895°		 ← 140.45 m → S 62.617352°
W 55.327149°		 →
↑
140.48 m
↓
↑
140.48 m
↓
S 62.618615°
W 55.329895°		 ← 140.44 m →
19 729 m²		 S 62.618615°
W 55.327149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94995 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346309661865234 y=0.724758148193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346309661865234 × 217)
    floor (0.346309661865234 × 131072)
    floor (45391.5)     		tx = 45391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724758148193359 × 217)
    floor (0.724758148193359 × 131072)
    floor (94995.5)     		ty = 94995
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45391 / 94995 ti = "17/45391/94995"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45391/94995.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45391 ÷ 217
    45391 ÷ 131072     		x = 0.346305847167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94995 ÷ 217
    94995 ÷ 131072     		y = 0.724754333496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346305847167969 × 2 - 1) × π
    -0.307388305664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.96568884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724754333496094 × 2 - 1) × π
    -0.449508666992188 × 3.1415926535     		Φ = -1.41217312590723
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96568884} λ = -0.96568884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41217312590723))-π/2
    2×atan(0.243613305122801)-π/2
    2×0.2389586822604-π/2
    0.477917364520801-1.57079632675     		φ = -1.09287896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96568884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.329895°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09287896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.617352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45391 KachelY 94995 -0.96568884 -1.09287896 -55.329895 -62.617352
    Oben rechts KachelX + 1 45392 KachelY 94995 -0.96564091 -1.09287896 -55.327149 -62.617352
    Unten links KachelX 45391 KachelY + 1 94996 -0.96568884 -1.09290101 -55.329895 -62.618615
    Unten rechts KachelX + 1 45392 KachelY + 1 94996 -0.96564091 -1.09290101 -55.327149 -62.618615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09287896--1.09290101) × R
    2.20500000001067e-05 × 6371000     		dl = 140.48055000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09287896--1.09290101) × R
    2.20500000001067e-05 × 6371000     		dr = 140.48055000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96568884--0.96564091) × cos(-1.09287896) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.459930890346788 × 6371000     		do = 140.445430336089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96568884--0.96564091) × cos(-1.09290101) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.459911310833511 × 6371000     		du = 140.439451496168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09287896)-sin(-1.09290101))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459930890346788-0.459911310833511)×R²
    abs(-0.96564091--0.96568884)×1.95795132766907e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.95795132766907e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.95795132766907e-05×40589641000000     		ar = 19729.4313442814m²