Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4539 / 13076
↖ ↑ ↗
← S 72.528129°
W 80.266113°		 ← 733.54 m → S 72.528129°
W 80.244141°		 →
↑
733.43 m
↓
↑
733.43 m
↓
S 72.534725°
W 80.266113°		 ← 733.28 m →
537 905 m²		 S 72.534725°
W 80.244141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277069091796875 y=0.798126220703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277069091796875 × 214)
    floor (0.277069091796875 × 16384)
    floor (4539.5)     		tx = 4539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.798126220703125 × 214)
    floor (0.798126220703125 × 16384)
    floor (13076.5)     		ty = 13076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4539 / 13076 ti = "14/4539/13076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4539/13076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4539 ÷ 214
    4539 ÷ 16384     		x = 0.27703857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13076 ÷ 214
    13076 ÷ 16384     		y = 0.798095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27703857421875 × 2 - 1) × π
    -0.4459228515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40090795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.798095703125 × 2 - 1) × π
    -0.59619140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.87299054195483
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40090795} λ = -1.40090795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87299054195483))-π/2
    2×atan(0.153663437041983)-π/2
    2×0.152470831357395-π/2
    0.304941662714789-1.57079632675     		φ = -1.26585466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40090795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.266113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26585466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.528129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4539 KachelY 13076 -1.40090795 -1.26585466 -80.266113 -72.528129
    Oben rechts KachelX + 1 4540 KachelY 13076 -1.40052446 -1.26585466 -80.244141 -72.528129
    Unten links KachelX 4539 KachelY + 1 13077 -1.40090795 -1.26596978 -80.266113 -72.534725
    Unten rechts KachelX + 1 4540 KachelY + 1 13077 -1.40052446 -1.26596978 -80.244141 -72.534725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26585466--1.26596978) × R
    0.000115120000000024 × 6371000     		dl = 733.429520000154m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26585466--1.26596978) × R
    0.000115120000000024 × 6371000     		dr = 733.429520000154m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40090795--1.40052446) × cos(-1.26585466) × R
    0.000383489999999931 × 0.300237533748458 × 6371000     		do = 733.544782967226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40090795--1.40052446) × cos(-1.26596978) × R
    0.000383489999999931 × 0.300127722881678 × 6371000     		du = 733.276491433404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26585466)-sin(-1.26596978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300237533748458-0.300127722881678)×R²
    abs(-1.40052446--1.40090795)×0.000109810866780691×R²
    0.000383489999999931×0.000109810866780691×6371000²
    0.000383489999999931×0.000109810866780691×40589641000000     		ar = 537905.012197858m²