Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45388 / 94958
↖ ↑ ↗
← S 62.570576°
W 55.338135°		 ← 140.67 m → S 62.570576°
W 55.335388°		 →
↑
140.67 m
↓
↑
140.67 m
↓
S 62.571841°
W 55.338135°		 ← 140.66 m →
19 787 m²		 S 62.571841°
W 55.335388°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94958 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346286773681641 y=0.724475860595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346286773681641 × 217)
    floor (0.346286773681641 × 131072)
    floor (45388.5)     		tx = 45388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724475860595703 × 217)
    floor (0.724475860595703 × 131072)
    floor (94958.5)     		ty = 94958
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45388 / 94958 ti = "17/45388/94958"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45388/94958.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45388 ÷ 217
    45388 ÷ 131072     		x = 0.346282958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94958 ÷ 217
    94958 ÷ 131072     		y = 0.724472045898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346282958984375 × 2 - 1) × π
    -0.30743408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.96583265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724472045898438 × 2 - 1) × π
    -0.448944091796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.41039946062129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96583265} λ = -0.96583265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41039946062129))-π/2
    2×atan(0.244045777002095)-π/2
    2×0.239366885302529-π/2
    0.478733770605059-1.57079632675     		φ = -1.09206256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96583265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.338135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09206256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.570576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45388 KachelY 94958 -0.96583265 -1.09206256 -55.338135 -62.570576
    Oben rechts KachelX + 1 45389 KachelY 94958 -0.96578472 -1.09206256 -55.335388 -62.570576
    Unten links KachelX 45388 KachelY + 1 94959 -0.96583265 -1.09208464 -55.338135 -62.571841
    Unten rechts KachelX + 1 45389 KachelY + 1 94959 -0.96578472 -1.09208464 -55.335388 -62.571841
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09206256--1.09208464) × R
    2.20799999999244e-05 × 6371000     		dl = 140.671679999518m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09206256--1.09208464) × R
    2.20799999999244e-05 × 6371000     		dr = 140.671679999518m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96583265--0.96578472) × cos(-1.09206256) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.460655663221663 × 6371000     		do = 140.666748452124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96583265--0.96578472) × cos(-1.09208464) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.460636065366562 × 6371000     		du = 140.660764011306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09206256)-sin(-1.09208464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.460655663221663-0.460636065366562)×R²
    abs(-0.96578472--0.96583265)×1.95978551004727e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.95978551004727e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.95978551004727e-05×40589641000000     		ar = 19787.4069050091m²