Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45385 / 94923
↖ ↑ ↗
← S 62.526260°
W 55.346374°		 ← 140.88 m → S 62.526260°
W 55.343628°		 →
↑
140.86 m
↓
↑
140.86 m
↓
S 62.527526°
W 55.346374°		 ← 140.87 m →
19 844 m²		 S 62.527526°
W 55.343628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346263885498047 y=0.724208831787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346263885498047 × 217)
    floor (0.346263885498047 × 131072)
    floor (45385.5)     		tx = 45385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724208831787109 × 217)
    floor (0.724208831787109 × 131072)
    floor (94923.5)     		ty = 94923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45385 / 94923 ti = "17/45385/94923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45385/94923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45385 ÷ 217
    45385 ÷ 131072     		x = 0.346260070800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94923 ÷ 217
    94923 ÷ 131072     		y = 0.724205017089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346260070800781 × 2 - 1) × π
    -0.307479858398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.96597646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724205017089844 × 2 - 1) × π
    -0.448410034179688 × 3.1415926535     		Φ = -1.40872166913459
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96597646} λ = -0.96597646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40872166913459))-π/2
    2×atan(0.24445557861381)-π/2
    2×0.239753615224166-π/2
    0.479507230448331-1.57079632675     		φ = -1.09128910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96597646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.346374°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09128910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.526260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45385 KachelY 94923 -0.96597646 -1.09128910 -55.346374 -62.526260
    Oben rechts KachelX + 1 45386 KachelY 94923 -0.96592853 -1.09128910 -55.343628 -62.526260
    Unten links KachelX 45385 KachelY + 1 94924 -0.96597646 -1.09131121 -55.346374 -62.527526
    Unten rechts KachelX + 1 45386 KachelY + 1 94924 -0.96592853 -1.09131121 -55.343628 -62.527526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09128910--1.09131121) × R
    2.21099999999641e-05 × 6371000     		dl = 140.862809999771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09128910--1.09131121) × R
    2.21099999999641e-05 × 6371000     		dr = 140.862809999771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96597646--0.96592853) × cos(-1.09128910) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.461342032162301 × 6371000     		do = 140.876339465492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96597646--0.96592853) × cos(-1.09131121) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.461322415562994 × 6371000     		du = 140.870349300906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09128910)-sin(-1.09131121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461342032162301-0.461322415562994)×R²
    abs(-0.96592853--0.96597646)×1.96165993073816e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.96165993073816e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.96165993073816e-05×40589641000000     		ar = 19843.8151445358m²