Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45382 / 94956
↖ ↑ ↗
← S 62.568045°
W 55.354614°		 ← 140.68 m → S 62.568045°
W 55.351868°		 →
↑
140.67 m
↓
↑
140.67 m
↓
S 62.569310°
W 55.354614°		 ← 140.67 m →
19 789 m²		 S 62.569310°
W 55.351868°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346240997314453 y=0.724460601806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346240997314453 × 217)
    floor (0.346240997314453 × 131072)
    floor (45382.5)     		tx = 45382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724460601806641 × 217)
    floor (0.724460601806641 × 131072)
    floor (94956.5)     		ty = 94956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45382 / 94956 ti = "17/45382/94956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45382/94956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45382 ÷ 217
    45382 ÷ 131072     		x = 0.346237182617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94956 ÷ 217
    94956 ÷ 131072     		y = 0.724456787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346237182617188 × 2 - 1) × π
    -0.307525634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.96612027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724456787109375 × 2 - 1) × π
    -0.44891357421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.41030358682205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96612027} λ = -0.96612027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41030358682205))-π/2
    2×atan(0.244069175719569)-π/2
    2×0.239388968646556-π/2
    0.478777937293111-1.57079632675     		φ = -1.09201839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96612027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.354614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09201839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.568045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45382 KachelY 94956 -0.96612027 -1.09201839 -55.354614 -62.568045
    Oben rechts KachelX + 1 45383 KachelY 94956 -0.96607234 -1.09201839 -55.351868 -62.568045
    Unten links KachelX 45382 KachelY + 1 94957 -0.96612027 -1.09204047 -55.354614 -62.569310
    Unten rechts KachelX + 1 45383 KachelY + 1 94957 -0.96607234 -1.09204047 -55.351868 -62.569310
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09201839--1.09204047) × R
    2.20799999999244e-05 × 6371000     		dl = 140.671679999518m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09201839--1.09204047) × R
    2.20799999999244e-05 × 6371000     		dr = 140.671679999518m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96612027--0.96607234) × cos(-1.09201839) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.460694867133695 × 6371000     		do = 140.678719838611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96612027--0.96607234) × cos(-1.09204047) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.460675269727869 × 6371000     		du = 140.672735534986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09201839)-sin(-1.09204047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.460694867133695-0.460675269727869)×R²
    abs(-0.96607234--0.96612027)×1.95974058256332e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.95974058256332e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.95974058256332e-05×40589641000000     		ar = 19789.0909497271m²