Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45381 / 94918
↖ ↑ ↗
← S 62.519923°
W 55.357361°		 ← 140.94 m → S 62.519923°
W 55.354614°		 →
↑
140.93 m
↓
↑
140.93 m
↓
S 62.521191°
W 55.357361°		 ← 140.93 m →
19 861 m²		 S 62.521191°
W 55.354614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45381 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346233367919922 y=0.724170684814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346233367919922 × 217)
    floor (0.346233367919922 × 131072)
    floor (45381.5)     		tx = 45381
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724170684814453 × 217)
    floor (0.724170684814453 × 131072)
    floor (94918.5)     		ty = 94918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45381 / 94918 ti = "17/45381/94918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45381/94918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45381 ÷ 217
    45381 ÷ 131072     		x = 0.346229553222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94918 ÷ 217
    94918 ÷ 131072     		y = 0.724166870117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346229553222656 × 2 - 1) × π
    -0.307540893554688 × 3.1415926535     		Λ = -0.96616821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724166870117188 × 2 - 1) × π
    -0.448333740234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.40848198463649
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96616821} λ = -0.96616821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40848198463649))-π/2
    2×atan(0.244514177848861)-π/2
    2×0.239808909370194-π/2
    0.479617818740388-1.57079632675     		φ = -1.09117851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96616821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.357361°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09117851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.519923°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45381 KachelY 94918 -0.96616821 -1.09117851 -55.357361 -62.519923
    Oben rechts KachelX + 1 45382 KachelY 94918 -0.96612027 -1.09117851 -55.354614 -62.519923
    Unten links KachelX 45381 KachelY + 1 94919 -0.96616821 -1.09120063 -55.357361 -62.521191
    Unten rechts KachelX + 1 45382 KachelY + 1 94919 -0.96612027 -1.09120063 -55.354614 -62.521191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09117851--1.09120063) × R
    2.21199999999033e-05 × 6371000     		dl = 140.926519999384m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09117851--1.09120063) × R
    2.21199999999033e-05 × 6371000     		dr = 140.926519999384m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96616821--0.96612027) × cos(-1.09117851) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.46144014726258 × 6371000     		do = 140.93569844329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96616821--0.96612027) × cos(-1.09120063) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.461420522919602 × 6371000     		du = 140.929704663814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09117851)-sin(-1.09120063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46144014726258-0.461420522919602)×R²
    abs(-0.96612027--0.96616821)×1.96243429787524e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96243429787524e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96243429787524e-05×40589641000000     		ar = 19861.1551849868m²