Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45379 / 94895
↖ ↑ ↗
← S 62.490759°
W 55.362854°		 ← 141.07 m → S 62.490759°
W 55.360107°		 →
↑
141.05 m
↓
↑
141.05 m
↓
S 62.492028°
W 55.362854°		 ← 141.07 m →
19 899 m²		 S 62.492028°
W 55.360107°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45379 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94895 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346218109130859 y=0.723995208740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346218109130859 × 217)
    floor (0.346218109130859 × 131072)
    floor (45379.5)     		tx = 45379
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723995208740234 × 217)
    floor (0.723995208740234 × 131072)
    floor (94895.5)     		ty = 94895
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45379 / 94895 ti = "17/45379/94895"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45379/94895.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45379 ÷ 217
    45379 ÷ 131072     		x = 0.346214294433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94895 ÷ 217
    94895 ÷ 131072     		y = 0.723991394042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346214294433594 × 2 - 1) × π
    -0.307571411132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.96626409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723991394042969 × 2 - 1) × π
    -0.447982788085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.40737943594523
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96626409} λ = -0.96626409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40737943594523))-π/2
    2×atan(0.24478391530766)-π/2
    2×0.240063413926867-π/2
    0.480126827853734-1.57079632675     		φ = -1.09066950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96626409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.362854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09066950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.490759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45379 KachelY 94895 -0.96626409 -1.09066950 -55.362854 -62.490759
    Oben rechts KachelX + 1 45380 KachelY 94895 -0.96621615 -1.09066950 -55.360107 -62.490759
    Unten links KachelX 45379 KachelY + 1 94896 -0.96626409 -1.09069164 -55.362854 -62.492028
    Unten rechts KachelX + 1 45380 KachelY + 1 94896 -0.96621615 -1.09069164 -55.360107 -62.492028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09066950--1.09069164) × R
    2.21400000000038e-05 × 6371000     		dl = 141.053940000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09066950--1.09069164) × R
    2.21400000000038e-05 × 6371000     		dr = 141.053940000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96626409--0.96621615) × cos(-1.09066950) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.46189166655046 × 6371000     		do = 141.073604055915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96626409--0.96621615) × cos(-1.09069164) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.461872029666475 × 6371000     		du = 141.067606446092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09066950)-sin(-1.09069164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46189166655046-0.461872029666475)×R²
    abs(-0.96621615--0.96626409)×1.96368839850969e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96368839850969e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96368839850969e-05×40589641000000     		ar = 19898.5646897742m²