Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45377 / 94913
↖ ↑ ↗
← S 62.513586°
W 55.368347°		 ← 140.97 m → S 62.513586°
W 55.365600°		 →
↑
140.93 m
↓
↑
140.93 m
↓
S 62.514853°
W 55.368347°		 ← 140.96 m →
19 865 m²		 S 62.514853°
W 55.365600°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346202850341797 y=0.724132537841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346202850341797 × 217)
    floor (0.346202850341797 × 131072)
    floor (45377.5)     		tx = 45377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724132537841797 × 217)
    floor (0.724132537841797 × 131072)
    floor (94913.5)     		ty = 94913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45377 / 94913 ti = "17/45377/94913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45377/94913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45377 ÷ 217
    45377 ÷ 131072     		x = 0.346199035644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94913 ÷ 217
    94913 ÷ 131072     		y = 0.724128723144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346199035644531 × 2 - 1) × π
    -0.307601928710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.96635996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724128723144531 × 2 - 1) × π
    -0.448257446289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.40824230013839
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96635996} λ = -0.96635996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40824230013839))-π/2
    2×atan(0.244572791130925)-π/2
    2×0.239864215275287-π/2
    0.479728430550575-1.57079632675     		φ = -1.09106790
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96635996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.368347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09106790 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.513586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45377 KachelY 94913 -0.96635996 -1.09106790 -55.368347 -62.513586
    Oben rechts KachelX + 1 45378 KachelY 94913 -0.96631202 -1.09106790 -55.365600 -62.513586
    Unten links KachelX 45377 KachelY + 1 94914 -0.96635996 -1.09109002 -55.368347 -62.514853
    Unten rechts KachelX + 1 45378 KachelY + 1 94914 -0.96631202 -1.09109002 -55.365600 -62.514853
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09106790--1.09109002) × R
    2.21199999999033e-05 × 6371000     		dl = 140.926519999384m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09106790--1.09109002) × R
    2.21199999999033e-05 × 6371000     		dr = 140.926519999384m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96635996--0.96631202) × cos(-1.09106790) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.461538274461784 × 6371000     		do = 140.965669015721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96635996--0.96631202) × cos(-1.09109002) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.461518651247904 × 6371000     		du = 140.959675581101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09106790)-sin(-1.09109002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461538274461784-0.461518651247904)×R²
    abs(-0.96631202--0.96635996)×1.96232138802155e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96232138802155e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96232138802155e-05×40589641000000     		ar = 19865.3788575864m²