Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45375 / 94970
↖ ↑ ↗
← S 62.585754°
W 55.373840°		 ← 140.59 m → S 62.585754°
W 55.371094°		 →
↑
140.61 m
↓
↑
140.61 m
↓
S 62.587019°
W 55.373840°		 ← 140.59 m →
19 768 m²		 S 62.587019°
W 55.371094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346187591552734 y=0.724567413330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346187591552734 × 217)
    floor (0.346187591552734 × 131072)
    floor (45375.5)     		tx = 45375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724567413330078 × 217)
    floor (0.724567413330078 × 131072)
    floor (94970.5)     		ty = 94970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45375 / 94970 ti = "17/45375/94970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45375/94970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45375 ÷ 217
    45375 ÷ 131072     		x = 0.346183776855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94970 ÷ 217
    94970 ÷ 131072     		y = 0.724563598632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346183776855469 × 2 - 1) × π
    -0.307632446289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.96645583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724563598632812 × 2 - 1) × π
    -0.449127197265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.41097470341673
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96645583} λ = -0.96645583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41097470341673))-π/2
    2×atan(0.243905431797271)-π/2
    2×0.239234424695691-π/2
    0.478468849391382-1.57079632675     		φ = -1.09232748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96645583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.373840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09232748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.585754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45375 KachelY 94970 -0.96645583 -1.09232748 -55.373840 -62.585754
    Oben rechts KachelX + 1 45376 KachelY 94970 -0.96640790 -1.09232748 -55.371094 -62.585754
    Unten links KachelX 45375 KachelY + 1 94971 -0.96645583 -1.09234955 -55.373840 -62.587019
    Unten rechts KachelX + 1 45376 KachelY + 1 94971 -0.96640790 -1.09234955 -55.371094 -62.587019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09232748--1.09234955) × R
    2.20699999999852e-05 × 6371000     		dl = 140.607969999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09232748--1.09234955) × R
    2.20699999999852e-05 × 6371000     		dr = 140.607969999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96645583--0.96640790) × cos(-1.09232748) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.460420509648828 × 6371000     		do = 140.594941480087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96645583--0.96640790) × cos(-1.09234955) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.460400917977009 × 6371000     		du = 140.588958927409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09232748)-sin(-1.09234955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.460420509648828-0.460400917977009)×R²
    abs(-0.96640790--0.96645583)×1.95916718191413e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.95916718191413e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.95916718191413e-05×40589641000000     		ar = 19768.348717148m²