Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45374 / 94920
↖ ↑ ↗
← S 62.522458°
W 55.376587°		 ← 140.92 m → S 62.522458°
W 55.373840°		 →
↑
140.86 m
↓
↑
140.86 m
↓
S 62.523725°
W 55.376587°		 ← 140.92 m →
19 850 m²		 S 62.523725°
W 55.373840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346179962158203 y=0.724185943603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346179962158203 × 217)
    floor (0.346179962158203 × 131072)
    floor (45374.5)     		tx = 45374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724185943603516 × 217)
    floor (0.724185943603516 × 131072)
    floor (94920.5)     		ty = 94920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45374 / 94920 ti = "17/45374/94920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45374/94920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45374 ÷ 217
    45374 ÷ 131072     		x = 0.346176147460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94920 ÷ 217
    94920 ÷ 131072     		y = 0.72418212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346176147460938 × 2 - 1) × π
    -0.307647705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.96650377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72418212890625 × 2 - 1) × π
    -0.4483642578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.40857785843573
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96650377} λ = -0.96650377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40857785843573))-π/2
    2×atan(0.244490736469388)-π/2
    2×0.239786790300797-π/2
    0.479573580601594-1.57079632675     		φ = -1.09122275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96650377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.376587°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09122275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.522458°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45374 KachelY 94920 -0.96650377 -1.09122275 -55.376587 -62.522458
    Oben rechts KachelX + 1 45375 KachelY 94920 -0.96645583 -1.09122275 -55.373840 -62.522458
    Unten links KachelX 45374 KachelY + 1 94921 -0.96650377 -1.09124486 -55.376587 -62.523725
    Unten rechts KachelX + 1 45375 KachelY + 1 94921 -0.96645583 -1.09124486 -55.373840 -62.523725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09122275--1.09124486) × R
    2.21099999999641e-05 × 6371000     		dl = 140.862809999771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09122275--1.09124486) × R
    2.21099999999641e-05 × 6371000     		dr = 140.862809999771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96650377--0.96645583) × cos(-1.09122275) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.461400898350852 × 6371000     		do = 140.923710815381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96650377--0.96645583) × cos(-1.09124486) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.461381282428362 × 6371000     		du = 140.917719607739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09122275)-sin(-1.09124486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461400898350852-0.461381282428362)×R²
    abs(-0.96645583--0.96650377)×1.96159224905568e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96159224905568e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96159224905568e-05×40589641000000     		ar = 19850.4879326801m²