Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45373 / 94927
↖ ↑ ↗
← S 62.531327°
W 55.379334°		 ← 140.88 m → S 62.531327°
W 55.376587°		 →
↑
140.86 m
↓
↑
140.86 m
↓
S 62.532594°
W 55.379334°		 ← 140.88 m →
19 845 m²		 S 62.532594°
W 55.376587°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346172332763672 y=0.724239349365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346172332763672 × 217)
    floor (0.346172332763672 × 131072)
    floor (45373.5)     		tx = 45373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724239349365234 × 217)
    floor (0.724239349365234 × 131072)
    floor (94927.5)     		ty = 94927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45373 / 94927 ti = "17/45373/94927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45373/94927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45373 ÷ 217
    45373 ÷ 131072     		x = 0.346168518066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94927 ÷ 217
    94927 ÷ 131072     		y = 0.724235534667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346168518066406 × 2 - 1) × π
    -0.307662963867188 × 3.1415926535     		Λ = -0.96655171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724235534667969 × 2 - 1) × π
    -0.448471069335938 × 3.1415926535     		Φ = -1.40891341673307
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96655171} λ = -0.96655171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40891341673307))-π/2
    2×atan(0.244408709337355)-π/2
    2×0.239709388372644-π/2
    0.479418776745287-1.57079632675     		φ = -1.09137755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96655171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.379334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09137755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.531327°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45373 KachelY 94927 -0.96655171 -1.09137755 -55.379334 -62.531327
    Oben rechts KachelX + 1 45374 KachelY 94927 -0.96650377 -1.09137755 -55.376587 -62.531327
    Unten links KachelX 45373 KachelY + 1 94928 -0.96655171 -1.09139966 -55.379334 -62.532594
    Unten rechts KachelX + 1 45374 KachelY + 1 94928 -0.96650377 -1.09139966 -55.376587 -62.532594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09137755--1.09139966) × R
    2.21099999999641e-05 × 6371000     		dl = 140.862809999771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09137755--1.09139966) × R
    2.21099999999641e-05 × 6371000     		dr = 140.862809999771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96655171--0.96650377) × cos(-1.09137755) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.461263555539367 × 6371000     		do = 140.88176278555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96655171--0.96650377) × cos(-1.09139966) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.461243938037942 × 6371000     		du = 140.87577109566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09137755)-sin(-1.09139966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461263555539367-0.461243938037942)×R²
    abs(-0.96650377--0.96655171)×1.9617501425595e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.9617501425595e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.9617501425595e-05×40589641000000     		ar = 19844.5789813356m²