Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45371 / 94977
↖ ↑ ↗
← S 62.594605°
W 55.384827°		 ← 140.58 m → S 62.594605°
W 55.382080°		 →
↑
140.61 m
↓
↑
140.61 m
↓
S 62.595869°
W 55.384827°		 ← 140.58 m →
19 767 m²		 S 62.595869°
W 55.382080°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45371 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346157073974609 y=0.724620819091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346157073974609 × 217)
    floor (0.346157073974609 × 131072)
    floor (45371.5)     		tx = 45371
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724620819091797 × 217)
    floor (0.724620819091797 × 131072)
    floor (94977.5)     		ty = 94977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45371 / 94977 ti = "17/45371/94977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45371/94977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45371 ÷ 217
    45371 ÷ 131072     		x = 0.346153259277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94977 ÷ 217
    94977 ÷ 131072     		y = 0.724617004394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346153259277344 × 2 - 1) × π
    -0.307693481445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.96664758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724617004394531 × 2 - 1) × π
    -0.449234008789062 × 3.1415926535     		Φ = -1.41131026171407
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96664758} λ = -0.96664758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41131026171407))-π/2
    2×atan(0.243823601036128)-π/2
    2×0.239157187238613-π/2
    0.478314374477226-1.57079632675     		φ = -1.09248195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96664758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.384827°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09248195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.594605°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45371 KachelY 94977 -0.96664758 -1.09248195 -55.384827 -62.594605
    Oben rechts KachelX + 1 45372 KachelY 94977 -0.96659964 -1.09248195 -55.382080 -62.594605
    Unten links KachelX 45371 KachelY + 1 94978 -0.96664758 -1.09250402 -55.384827 -62.595869
    Unten rechts KachelX + 1 45372 KachelY + 1 94978 -0.96659964 -1.09250402 -55.382080 -62.595869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09248195--1.09250402) × R
    2.20699999999852e-05 × 6371000     		dl = 140.607969999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09248195--1.09250402) × R
    2.20699999999852e-05 × 6371000     		dr = 140.607969999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96664758--0.96659964) × cos(-1.09248195) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.460283380992528 × 6371000     		do = 140.582392249253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96664758--0.96659964) × cos(-1.09250402) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.460263787751332 × 6371000     		du = 140.576407969061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09248195)-sin(-1.09250402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.460283380992528-0.460263787751332)×R²
    abs(-0.96659964--0.96664758)×1.95932411959365e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95932411959365e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95932411959365e-05×40589641000000     		ar = 19766.5840738298m²