Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45370 / 94982
↖ ↑ ↗
← S 62.600925°
W 55.387573°		 ← 140.55 m → S 62.600925°
W 55.384827°		 →
↑
140.54 m
↓
↑
140.54 m
↓
S 62.602189°
W 55.387573°		 ← 140.55 m →
19 753 m²		 S 62.602189°
W 55.384827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346149444580078 y=0.724658966064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346149444580078 × 217)
    floor (0.346149444580078 × 131072)
    floor (45370.5)     		tx = 45370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724658966064453 × 217)
    floor (0.724658966064453 × 131072)
    floor (94982.5)     		ty = 94982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45370 / 94982 ti = "17/45370/94982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45370/94982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45370 ÷ 217
    45370 ÷ 131072     		x = 0.346145629882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94982 ÷ 217
    94982 ÷ 131072     		y = 0.724655151367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346145629882812 × 2 - 1) × π
    -0.307708740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.96669552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724655151367188 × 2 - 1) × π
    -0.449310302734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.41154994621217
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96669552} λ = -0.96669552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41154994621217))-π/2
    2×atan(0.243765167301799)-π/2
    2×0.239102031711741-π/2
    0.478204063423482-1.57079632675     		φ = -1.09259226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96669552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.387573°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09259226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.600925°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45370 KachelY 94982 -0.96669552 -1.09259226 -55.387573 -62.600925
    Oben rechts KachelX + 1 45371 KachelY 94982 -0.96664758 -1.09259226 -55.384827 -62.600925
    Unten links KachelX 45370 KachelY + 1 94983 -0.96669552 -1.09261432 -55.387573 -62.602189
    Unten rechts KachelX + 1 45371 KachelY + 1 94983 -0.96664758 -1.09261432 -55.384827 -62.602189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09259226--1.09261432) × R
    2.20600000000459e-05 × 6371000     		dl = 140.544260000293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09259226--1.09261432) × R
    2.20600000000459e-05 × 6371000     		dr = 140.544260000293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96669552--0.96664758) × cos(-1.09259226) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.460185448057681 × 6371000     		do = 140.552481010482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96669552--0.96664758) × cos(-1.09261432) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.460165862574379 × 6371000     		du = 140.546499099751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09259226)-sin(-1.09261432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.460185448057681-0.460165862574379)×R²
    abs(-0.96664758--0.96669552)×1.95854833023312e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.95854833023312e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.95854833023312e-05×40589641000000     		ar = 19753.4240738971m²