Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45369 / 94906
↖ ↑ ↗
← S 62.504711°
W 55.390320°		 ← 140.98 m → S 62.504711°
W 55.387573°		 →
↑
140.99 m
↓
↑
140.99 m
↓
S 62.505979°
W 55.390320°		 ← 140.97 m →
19 876 m²		 S 62.505979°
W 55.387573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346141815185547 y=0.724079132080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346141815185547 × 217)
    floor (0.346141815185547 × 131072)
    floor (45369.5)     		tx = 45369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724079132080078 × 217)
    floor (0.724079132080078 × 131072)
    floor (94906.5)     		ty = 94906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45369 / 94906 ti = "17/45369/94906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45369/94906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45369 ÷ 217
    45369 ÷ 131072     		x = 0.346138000488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94906 ÷ 217
    94906 ÷ 131072     		y = 0.724075317382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346138000488281 × 2 - 1) × π
    -0.307723999023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.96674345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724075317382812 × 2 - 1) × π
    -0.448150634765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.40790674184105
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96674345} λ = -0.96674345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40790674184105))-π/2
    2×atan(0.244654873331204)-π/2
    2×0.239941663301119-π/2
    0.479883326602238-1.57079632675     		φ = -1.09091300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96674345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.390320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09091300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.504711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45369 KachelY 94906 -0.96674345 -1.09091300 -55.390320 -62.504711
    Oben rechts KachelX + 1 45370 KachelY 94906 -0.96669552 -1.09091300 -55.387573 -62.504711
    Unten links KachelX 45369 KachelY + 1 94907 -0.96674345 -1.09093513 -55.390320 -62.505979
    Unten rechts KachelX + 1 45370 KachelY + 1 94907 -0.96669552 -1.09093513 -55.387573 -62.505979
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09091300--1.09093513) × R
    2.21300000000646e-05 × 6371000     		dl = 140.990230000412m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09091300--1.09093513) × R
    2.21300000000646e-05 × 6371000     		dr = 140.990230000412m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96674345--0.96669552) × cos(-1.09091300) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.46167568385815 × 6371000     		do = 140.978224024323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96674345--0.96669552) × cos(-1.09093513) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.461656053355291 × 6371000     		du = 140.97222961412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09091300)-sin(-1.09093513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46167568385815-0.461656053355291)×R²
    abs(-0.96669552--0.96674345)×1.9630502859469e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.9630502859469e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.9630502859469e-05×40589641000000     		ar = 19876.1296545855m²