Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45368 / 94962
↖ ↑ ↗
← S 62.575636°
W 55.393066°		 ← 140.67 m → S 62.575636°
W 55.390320°		 →
↑
140.67 m
↓
↑
140.67 m
↓
S 62.576901°
W 55.393066°		 ← 140.67 m →
19 788 m²		 S 62.576901°
W 55.390320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346134185791016 y=0.724506378173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346134185791016 × 217)
    floor (0.346134185791016 × 131072)
    floor (45368.5)     		tx = 45368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724506378173828 × 217)
    floor (0.724506378173828 × 131072)
    floor (94962.5)     		ty = 94962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45368 / 94962 ti = "17/45368/94962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45368/94962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45368 ÷ 217
    45368 ÷ 131072     		x = 0.34613037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94962 ÷ 217
    94962 ÷ 131072     		y = 0.724502563476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34613037109375 × 2 - 1) × π
    -0.3077392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.96679139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724502563476562 × 2 - 1) × π
    -0.449005126953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.41059120821977
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96679139} λ = -0.96679139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41059120821977))-π/2
    2×atan(0.243998986296581)-π/2
    2×0.239322724251704-π/2
    0.478645448503408-1.57079632675     		φ = -1.09215088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96679139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.393066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09215088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.575636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45368 KachelY 94962 -0.96679139 -1.09215088 -55.393066 -62.575636
    Oben rechts KachelX + 1 45369 KachelY 94962 -0.96674345 -1.09215088 -55.390320 -62.575636
    Unten links KachelX 45368 KachelY + 1 94963 -0.96679139 -1.09217296 -55.393066 -62.576901
    Unten rechts KachelX + 1 45369 KachelY + 1 94963 -0.96674345 -1.09217296 -55.390320 -62.576901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09215088--1.09217296) × R
    2.20800000001464e-05 × 6371000     		dl = 140.671680000933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09215088--1.09217296) × R
    2.20800000001464e-05 × 6371000     		dr = 140.671680000933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96679139--0.96674345) × cos(-1.09215088) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.460577270453865 × 6371000     		do = 140.672153655786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96679139--0.96674345) × cos(-1.09217296) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.460557671700533 × 6371000     		du = 140.666167692046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09215088)-sin(-1.09217296))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.460577270453865-0.460557671700533)×R²
    abs(-0.96674345--0.96679139)×1.9598753332295e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.9598753332295e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.9598753332295e-05×40589641000000     		ar = 19788.1671570628m²