Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45366 / 95313
↖ ↑ ↗
← S 63.016352°
W 55.398560°		 ← 138.58 m → S 63.016352°
W 55.395813°		 →
↑
138.57 m
↓
↑
138.57 m
↓
S 63.017598°
W 55.398560°		 ← 138.58 m →
19 203 m²		 S 63.017598°
W 55.395813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346118927001953 y=0.727184295654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346118927001953 × 217)
    floor (0.346118927001953 × 131072)
    floor (45366.5)     		tx = 45366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727184295654297 × 217)
    floor (0.727184295654297 × 131072)
    floor (95313.5)     		ty = 95313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45366 / 95313 ti = "17/45366/95313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45366/95313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45366 ÷ 217
    45366 ÷ 131072     		x = 0.346115112304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95313 ÷ 217
    95313 ÷ 131072     		y = 0.727180480957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346115112304688 × 2 - 1) × π
    -0.307769775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.96688727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727180480957031 × 2 - 1) × π
    -0.454360961914062 × 3.1415926535     		Φ = -1.42741705998641
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96688727} λ = -0.96688727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42741705998641))-π/2
    2×atan(0.239927841806581)-π/2
    2×0.235476751357304-π/2
    0.470953502714607-1.57079632675     		φ = -1.09984282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96688727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.398560°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09984282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.016352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45366 KachelY 95313 -0.96688727 -1.09984282 -55.398560 -63.016352
    Oben rechts KachelX + 1 45367 KachelY 95313 -0.96683933 -1.09984282 -55.395813 -63.016352
    Unten links KachelX 45366 KachelY + 1 95314 -0.96688727 -1.09986457 -55.398560 -63.017598
    Unten rechts KachelX + 1 45367 KachelY + 1 95314 -0.96683933 -1.09986457 -55.395813 -63.017598
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09984282--1.09986457) × R
    2.17499999999315e-05 × 6371000     		dl = 138.569249999564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09984282--1.09986457) × R
    2.17499999999315e-05 × 6371000     		dr = 138.569249999564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96688727--0.96683933) × cos(-1.09984282) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.453736195794684 × 6371000     		do = 138.582713365285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96688727--0.96683933) × cos(-1.09986457) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.453716813478214 × 6371000     		du = 138.576793506935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09984282)-sin(-1.09986457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453736195794684-0.453716813478214)×R²
    abs(-0.96683933--0.96688727)×1.93823164699181e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.93823164699181e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.93823164699181e-05×40589641000000     		ar = 19202.8924995646m²