Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45366 / 20789
↖ ↑ ↗
← N 54.810183°
E 69.202881°		 ← 352.03 m → N 54.810183°
E 69.208374°		 →
↑
352.06 m
↓
↑
352.06 m
↓
N 54.807017°
E 69.202881°		 ← 352.05 m →
123 940 m²		 N 54.807017°
E 69.208374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.692237854003906 y=0.317222595214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.692237854003906 × 216)
    floor (0.692237854003906 × 65536)
    floor (45366.5)     		tx = 45366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317222595214844 × 216)
    floor (0.317222595214844 × 65536)
    floor (20789.5)     		ty = 20789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45366 / 20789 ti = "16/45366/20789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45366/20789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45366 ÷ 216
    45366 ÷ 65536     		x = 0.692230224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20789 ÷ 216
    20789 ÷ 65536     		y = 0.317214965820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.692230224609375 × 2 - 1) × π
    0.38446044921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.20781812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317214965820312 × 2 - 1) × π
    0.365570068359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.14847224109731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20781812} λ = 1.20781812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14847224109731))-π/2
    2×atan(3.15337163616509)-π/2
    2×1.26370724101773-π/2
    2.52741448203546-1.57079632675     		φ = 0.95661816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20781812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 69.202881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95661816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.810183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45366 KachelY 20789 1.20781812 0.95661816 69.202881 54.810183
    Oben rechts KachelX + 1 45367 KachelY 20789 1.20791400 0.95661816 69.208374 54.810183
    Unten links KachelX 45366 KachelY + 1 20790 1.20781812 0.95656290 69.202881 54.807017
    Unten rechts KachelX + 1 45367 KachelY + 1 20790 1.20791400 0.95656290 69.208374 54.807017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95661816-0.95656290) × R
    5.52600000000014e-05 × 6371000     		dl = 352.061460000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95661816-0.95656290) × R
    5.52600000000014e-05 × 6371000     		dr = 352.061460000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20781812-1.20791400) × cos(0.95661816) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.576287075979535 × 6371000     		do = 352.02581326674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20781812-1.20791400) × cos(0.95656290) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.576332236187332 × 6371000     		du = 352.05339944651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95661816)-sin(0.95656290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576287075979535-0.576332236187332)×R²
    abs(1.20791400-1.20781812)×4.51602077974345e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.51602077974345e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.51602077974345e-05×40589641000000     		ar = 123939.577823344m²