Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45363 / 95042
↖ ↑ ↗
← S 62.676665°
W 55.406800°		 ← 140.19 m → S 62.676665°
W 55.404053°		 →
↑
140.16 m
↓
↑
140.16 m
↓
S 62.677926°
W 55.406800°		 ← 140.19 m →
19 649 m²		 S 62.677926°
W 55.404053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45363 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346096038818359 y=0.725116729736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346096038818359 × 217)
    floor (0.346096038818359 × 131072)
    floor (45363.5)     		tx = 45363
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725116729736328 × 217)
    floor (0.725116729736328 × 131072)
    floor (95042.5)     		ty = 95042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45363 / 95042 ti = "17/45363/95042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45363/95042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45363 ÷ 217
    45363 ÷ 131072     		x = 0.346092224121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95042 ÷ 217
    95042 ÷ 131072     		y = 0.725112915039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346092224121094 × 2 - 1) × π
    -0.307815551757812 × 3.1415926535     		Λ = -0.96703108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725112915039062 × 2 - 1) × π
    -0.450225830078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.41442616018938
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96703108} λ = -0.96703108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41442616018938))-π/2
    2×atan(0.243065053841157)-π/2
    2×0.238441080251541-π/2
    0.476882160503082-1.57079632675     		φ = -1.09391417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96703108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.406800°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09391417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.676665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45363 KachelY 95042 -0.96703108 -1.09391417 -55.406800 -62.676665
    Oben rechts KachelX + 1 45364 KachelY 95042 -0.96698314 -1.09391417 -55.404053 -62.676665
    Unten links KachelX 45363 KachelY + 1 95043 -0.96703108 -1.09393617 -55.406800 -62.677926
    Unten rechts KachelX + 1 45364 KachelY + 1 95043 -0.96698314 -1.09393617 -55.404053 -62.677926
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09391417--1.09393617) × R
    2.20000000001885e-05 × 6371000     		dl = 140.162000001201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09391417--1.09393617) × R
    2.20000000001885e-05 × 6371000     		dr = 140.162000001201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96703108--0.96698314) × cos(-1.09391417) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.459011424465642 × 6371000     		do = 140.193903986105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96703108--0.96698314) × cos(-1.09393617) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.458991878886548 × 6371000     		du = 140.187934263147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09391417)-sin(-1.09393617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459011424465642-0.458991878886548)×R²
    abs(-0.96698314--0.96703108)×1.95455790939492e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.95455790939492e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.95455790939492e-05×40589641000000     		ar = 19649.4396074607m²