Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45360 / 95037
↖ ↑ ↗
← S 62.670361°
W 55.415039°		 ← 140.22 m → S 62.670361°
W 55.412292°		 →
↑
140.16 m
↓
↑
140.16 m
↓
S 62.671621°
W 55.415039°		 ← 140.22 m →
19 654 m²		 S 62.671621°
W 55.412292°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346073150634766 y=0.725078582763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346073150634766 × 217)
    floor (0.346073150634766 × 131072)
    floor (45360.5)     		tx = 45360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725078582763672 × 217)
    floor (0.725078582763672 × 131072)
    floor (95037.5)     		ty = 95037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45360 / 95037 ti = "17/45360/95037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45360/95037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45360 ÷ 217
    45360 ÷ 131072     		x = 0.3460693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95037 ÷ 217
    95037 ÷ 131072     		y = 0.725074768066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3460693359375 × 2 - 1) × π
    -0.307861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.96717489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725074768066406 × 2 - 1) × π
    -0.450149536132812 × 3.1415926535     		Φ = -1.41418647569128
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96717489} λ = -0.96717489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41418647569128))-π/2
    2×atan(0.243123319749031)-π/2
    2×0.238496095070575-π/2
    0.476992190141149-1.57079632675     		φ = -1.09380414
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96717489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.415039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09380414 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.670361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45360 KachelY 95037 -0.96717489 -1.09380414 -55.415039 -62.670361
    Oben rechts KachelX + 1 45361 KachelY 95037 -0.96712695 -1.09380414 -55.412292 -62.670361
    Unten links KachelX 45360 KachelY + 1 95038 -0.96717489 -1.09382614 -55.415039 -62.671621
    Unten rechts KachelX + 1 45361 KachelY + 1 95038 -0.96712695 -1.09382614 -55.412292 -62.671621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09380414--1.09382614) × R
    2.19999999999665e-05 × 6371000     		dl = 140.161999999787m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09380414--1.09382614) × R
    2.19999999999665e-05 × 6371000     		dr = 140.161999999787m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96717489--0.96712695) × cos(-1.09380414) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.459109175679894 × 6371000     		do = 140.22375972273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96717489--0.96712695) × cos(-1.09382614) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.459089631212006 × 6371000     		du = 140.217790339162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09380414)-sin(-1.09382614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459109175679894-0.459089631212006)×R²
    abs(-0.96712695--0.96717489)×1.95444678884882e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95444678884882e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95444678884882e-05×40589641000000     		ar = 19653.624270633m²