Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45360 / 94576
↖ ↑ ↗
← S 62.083315°
W 55.415039°		 ← 143 m → S 62.083315°
W 55.412292°		 →
↑
143.03 m
↓
↑
143.03 m
↓
S 62.084601°
W 55.415039°		 ← 142.99 m →
20 452 m²		 S 62.084601°
W 55.412292°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346073150634766 y=0.721561431884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346073150634766 × 217)
    floor (0.346073150634766 × 131072)
    floor (45360.5)     		tx = 45360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721561431884766 × 217)
    floor (0.721561431884766 × 131072)
    floor (94576.5)     		ty = 94576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45360 / 94576 ti = "17/45360/94576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45360/94576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45360 ÷ 217
    45360 ÷ 131072     		x = 0.3460693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94576 ÷ 217
    94576 ÷ 131072     		y = 0.7215576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3460693359375 × 2 - 1) × π
    -0.307861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.96717489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7215576171875 × 2 - 1) × π
    -0.443115234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.39208756496643
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96717489} λ = -0.96717489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39208756496643))-π/2
    2×atan(0.248555886100313)-π/2
    2×0.243619035951376-π/2
    0.487238071902752-1.57079632675     		φ = -1.08355825
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96717489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.415039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08355825 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.083315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45360 KachelY 94576 -0.96717489 -1.08355825 -55.415039 -62.083315
    Oben rechts KachelX + 1 45361 KachelY 94576 -0.96712695 -1.08355825 -55.412292 -62.083315
    Unten links KachelX 45360 KachelY + 1 94577 -0.96717489 -1.08358070 -55.415039 -62.084601
    Unten rechts KachelX + 1 45361 KachelY + 1 94577 -0.96712695 -1.08358070 -55.412292 -62.084601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08355825--1.08358070) × R
    2.24499999998962e-05 × 6371000     		dl = 143.028949999338m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08355825--1.08358070) × R
    2.24499999998962e-05 × 6371000     		dr = 143.028949999338m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96717489--0.96712695) × cos(-1.08355825) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.468187160654867 × 6371000     		do = 142.996410001418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96717489--0.96712695) × cos(-1.08358070) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.468167323058557 × 6371000     		du = 142.990351088885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08355825)-sin(-1.08358070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.468187160654867-0.468167323058557)×R²
    abs(-0.96712695--0.96717489)×1.9837596310468e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.9837596310468e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.9837596310468e-05×40589641000000     		ar = 20452.1930770971m²