Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4536 / 5592
↖ ↑ ↗
← N 75.606801°
W130.166016°		 ← 303.67 m → N 75.606801°
W130.155029°		 →
↑
303.71 m
↓
↑
303.71 m
↓
N 75.604070°
W130.166016°		 ← 303.73 m →
92 234 m²		 N 75.604070°
W130.155029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138442993164062 y=0.170669555664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138442993164062 × 215)
    floor (0.138442993164062 × 32768)
    floor (4536.5)     		tx = 4536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.170669555664062 × 215)
    floor (0.170669555664062 × 32768)
    floor (5592.5)     		ty = 5592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4536 / 5592 ti = "15/4536/5592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4536/5592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4536 ÷ 215
    4536 ÷ 32768     		x = 0.138427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5592 ÷ 215
    5592 ÷ 32768     		y = 0.170654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138427734375 × 2 - 1) × π
    -0.72314453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.27182555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.170654296875 × 2 - 1) × π
    0.65869140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.06934008279858
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27182555} λ = -2.27182555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06934008279858))-π/2
    2×atan(7.91959511596975)-π/2
    2×1.44519197101497-π/2
    2.89038394202993-1.57079632675     		φ = 1.31958762
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27182555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.166016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31958762 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.606801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4536 KachelY 5592 -2.27182555 1.31958762 -130.166016 75.606801
    Oben rechts KachelX + 1 4537 KachelY 5592 -2.27163380 1.31958762 -130.155029 75.606801
    Unten links KachelX 4536 KachelY + 1 5593 -2.27182555 1.31953995 -130.166016 75.604070
    Unten rechts KachelX + 1 4537 KachelY + 1 5593 -2.27163380 1.31953995 -130.155029 75.604070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31958762-1.31953995) × R
    4.76700000000552e-05 × 6371000     		dl = 303.705570000351m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31958762-1.31953995) × R
    4.76700000000552e-05 × 6371000     		dr = 303.705570000351m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27182555--2.27163380) × cos(1.31958762) × R
    0.000191749999999935 × 0.248574909272018 × 6371000     		do = 303.668865731784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27182555--2.27163380) × cos(1.31953995) × R
    0.000191749999999935 × 0.248621082755791 × 6371000     		du = 303.72527307187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31958762)-sin(1.31953995))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.248574909272018-0.248621082755791)×R²
    abs(-2.27163380--2.27182555)×4.61734837730321e-05×R²
    0.000191749999999935×4.61734837730321e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.61734837730321e-05×40589641000000     		ar = 92234.4915876272m²