Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4536 / 5560
↖ ↑ ↗
← N 75.693932°
W130.166016°		 ← 301.87 m → N 75.693932°
W130.155029°		 →
↑
301.92 m
↓
↑
301.92 m
↓
N 75.691216°
W130.166016°		 ← 301.93 m →
91 149 m²		 N 75.691216°
W130.155029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138442993164062 y=0.169692993164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138442993164062 × 215)
    floor (0.138442993164062 × 32768)
    floor (4536.5)     		tx = 4536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.169692993164062 × 215)
    floor (0.169692993164062 × 32768)
    floor (5560.5)     		ty = 5560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4536 / 5560 ti = "15/4536/5560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4536/5560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4536 ÷ 215
    4536 ÷ 32768     		x = 0.138427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5560 ÷ 215
    5560 ÷ 32768     		y = 0.169677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138427734375 × 2 - 1) × π
    -0.72314453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.27182555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.169677734375 × 2 - 1) × π
    0.66064453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.07547600594995
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27182555} λ = -2.27182555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.07547600594995))-π/2
    2×atan(7.96833853299122)-π/2
    2×1.4459523272418-π/2
    2.89190465448359-1.57079632675     		φ = 1.32110833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27182555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.166016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32110833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.693932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4536 KachelY 5560 -2.27182555 1.32110833 -130.166016 75.693932
    Oben rechts KachelX + 1 4537 KachelY 5560 -2.27163380 1.32110833 -130.155029 75.693932
    Unten links KachelX 4536 KachelY + 1 5561 -2.27182555 1.32106094 -130.166016 75.691216
    Unten rechts KachelX + 1 4537 KachelY + 1 5561 -2.27163380 1.32106094 -130.155029 75.691216
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32110833-1.32106094) × R
    4.73899999999805e-05 × 6371000     		dl = 301.921689999876m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32110833-1.32106094) × R
    4.73899999999805e-05 × 6371000     		dr = 301.921689999876m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27182555--2.27163380) × cos(1.32110833) × R
    0.000191749999999935 × 0.247101643436497 × 6371000     		do = 301.869066361427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27182555--2.27163380) × cos(1.32106094) × R
    0.000191749999999935 × 0.247147563574511 × 6371000     		du = 301.92516420439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32110833)-sin(1.32106094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.247101643436497-0.247147563574511)×R²
    abs(-2.27163380--2.27182555)×4.5920138014105e-05×R²
    0.000191749999999935×4.5920138014105e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.5920138014105e-05×40589641000000     		ar = 91149.2872696726m²