Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45359 / 95039
↖ ↑ ↗
← S 62.672882°
W 55.417785°		 ← 140.18 m → S 62.672882°
W 55.415039°		 →
↑
140.23 m
↓
↑
140.23 m
↓
S 62.674144°
W 55.417785°		 ← 140.18 m →
19 657 m²		 S 62.674144°
W 55.415039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346065521240234 y=0.725093841552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346065521240234 × 217)
    floor (0.346065521240234 × 131072)
    floor (45359.5)     		tx = 45359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725093841552734 × 217)
    floor (0.725093841552734 × 131072)
    floor (95039.5)     		ty = 95039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45359 / 95039 ti = "17/45359/95039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45359/95039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45359 ÷ 217
    45359 ÷ 131072     		x = 0.346061706542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95039 ÷ 217
    95039 ÷ 131072     		y = 0.725090026855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346061706542969 × 2 - 1) × π
    -0.307876586914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.96722282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725090026855469 × 2 - 1) × π
    -0.450180053710938 × 3.1415926535     		Φ = -1.41428234949052
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96722282} λ = -0.96722282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41428234949052))-π/2
    2×atan(0.243100011710016)-π/2
    2×0.238474087737191-π/2
    0.476948175474383-1.57079632675     		φ = -1.09384815
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96722282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.417785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09384815 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.672882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45359 KachelY 95039 -0.96722282 -1.09384815 -55.417785 -62.672882
    Oben rechts KachelX + 1 45360 KachelY 95039 -0.96717489 -1.09384815 -55.415039 -62.672882
    Unten links KachelX 45359 KachelY + 1 95040 -0.96722282 -1.09387016 -55.417785 -62.674144
    Unten rechts KachelX + 1 45360 KachelY + 1 95040 -0.96717489 -1.09387016 -55.415039 -62.674144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09384815--1.09387016) × R
    2.20100000001278e-05 × 6371000     		dl = 140.225710000814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09384815--1.09387016) × R
    2.20100000001278e-05 × 6371000     		dr = 140.225710000814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96722282--0.96717489) × cos(-1.09384815) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.459070077637917 × 6371000     		do = 140.182570819858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96722282--0.96717489) × cos(-1.09387016) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.459050523841437 × 6371000     		du = 140.17659983287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09384815)-sin(-1.09387016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459070077637917-0.459050523841437)×R²
    abs(-0.96717489--0.96722282)×1.95537964805537e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.95537964805537e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.95537964805537e-05×40589641000000     		ar = 19656.7818808743m²