Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45358 / 94967
↖ ↑ ↗
← S 62.581960°
W 55.420532°		 ← 140.64 m → S 62.581960°
W 55.417785°		 →
↑
140.61 m
↓
↑
140.61 m
↓
S 62.583225°
W 55.420532°		 ← 140.64 m →
19 775 m²		 S 62.583225°
W 55.417785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346057891845703 y=0.724544525146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346057891845703 × 217)
    floor (0.346057891845703 × 131072)
    floor (45358.5)     		tx = 45358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724544525146484 × 217)
    floor (0.724544525146484 × 131072)
    floor (94967.5)     		ty = 94967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45358 / 94967 ti = "17/45358/94967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45358/94967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45358 ÷ 217
    45358 ÷ 131072     		x = 0.346054077148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94967 ÷ 217
    94967 ÷ 131072     		y = 0.724540710449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346054077148438 × 2 - 1) × π
    -0.307891845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.96727076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724540710449219 × 2 - 1) × π
    -0.449081420898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.41083089271787
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96727076} λ = -0.96727076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41083089271787))-π/2
    2×atan(0.243940510530161)-π/2
    2×0.239267533506769-π/2
    0.478535067013537-1.57079632675     		φ = -1.09226126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96727076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.420532°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09226126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.581960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45358 KachelY 94967 -0.96727076 -1.09226126 -55.420532 -62.581960
    Oben rechts KachelX + 1 45359 KachelY 94967 -0.96722282 -1.09226126 -55.417785 -62.581960
    Unten links KachelX 45358 KachelY + 1 94968 -0.96727076 -1.09228333 -55.420532 -62.583225
    Unten rechts KachelX + 1 45359 KachelY + 1 94968 -0.96722282 -1.09228333 -55.417785 -62.583225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09226126--1.09228333) × R
    2.20700000002072e-05 × 6371000     		dl = 140.60797000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09226126--1.09228333) × R
    2.20700000002072e-05 × 6371000     		dr = 140.60797000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96727076--0.96722282) × cos(-1.09226126) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.460479292195369 × 6371000     		do = 140.642228573355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96727076--0.96722282) × cos(-1.09228333) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.460459701196471 × 6371000     		du = 140.636244978019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09226126)-sin(-1.09228333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.460479292195369-0.460459701196471)×R²
    abs(-0.96722282--0.96727076)×1.95909988974785e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95909988974785e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95909988974785e-05×40589641000000     		ar = 19774.9975862703m²