Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45357 / 95036
↖ ↑ ↗
← S 62.669100°
W 55.423279°		 ← 140.23 m → S 62.669100°
W 55.420532°		 →
↑
140.23 m
↓
↑
140.23 m
↓
S 62.670361°
W 55.423279°		 ← 140.22 m →
19 663 m²		 S 62.670361°
W 55.420532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346050262451172 y=0.725070953369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346050262451172 × 217)
    floor (0.346050262451172 × 131072)
    floor (45357.5)     		tx = 45357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725070953369141 × 217)
    floor (0.725070953369141 × 131072)
    floor (95036.5)     		ty = 95036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45357 / 95036 ti = "17/45357/95036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45357/95036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45357 ÷ 217
    45357 ÷ 131072     		x = 0.346046447753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95036 ÷ 217
    95036 ÷ 131072     		y = 0.725067138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346046447753906 × 2 - 1) × π
    -0.307907104492188 × 3.1415926535     		Λ = -0.96731870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725067138671875 × 2 - 1) × π
    -0.45013427734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.41413853879166
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96731870} λ = -0.96731870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41413853879166))-π/2
    2×atan(0.243134974606552)-π/2
    2×0.238507099440195-π/2
    0.47701419888039-1.57079632675     		φ = -1.09378213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96731870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.423279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09378213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.669100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45357 KachelY 95036 -0.96731870 -1.09378213 -55.423279 -62.669100
    Oben rechts KachelX + 1 45358 KachelY 95036 -0.96727076 -1.09378213 -55.420532 -62.669100
    Unten links KachelX 45357 KachelY + 1 95037 -0.96731870 -1.09380414 -55.423279 -62.670361
    Unten rechts KachelX + 1 45358 KachelY + 1 95037 -0.96727076 -1.09380414 -55.420532 -62.670361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09378213--1.09380414) × R
    2.20100000001278e-05 × 6371000     		dl = 140.225710000814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09378213--1.09380414) × R
    2.20100000001278e-05 × 6371000     		dr = 140.225710000814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96731870--0.96727076) × cos(-1.09378213) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.459128728809272 × 6371000     		do = 140.229731751739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96731870--0.96727076) × cos(-1.09380414) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.459109175679894 × 6371000     		du = 140.22375972273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09378213)-sin(-1.09380414))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459128728809272-0.459109175679894)×R²
    abs(-0.96727076--0.96731870)×1.95531293772921e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95531293772921e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95531293772921e-05×40589641000000     		ar = 19663.3949829152m²