Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45353 / 95033
↖ ↑ ↗
← S 62.665317°
W 55.434265°		 ← 140.25 m → S 62.665317°
W 55.431519°		 →
↑
140.23 m
↓
↑
140.23 m
↓
S 62.666578°
W 55.434265°		 ← 140.24 m →
19 666 m²		 S 62.666578°
W 55.431519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45353 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346019744873047 y=0.725048065185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346019744873047 × 217)
    floor (0.346019744873047 × 131072)
    floor (45353.5)     		tx = 45353
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725048065185547 × 217)
    floor (0.725048065185547 × 131072)
    floor (95033.5)     		ty = 95033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45353 / 95033 ti = "17/45353/95033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45353/95033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45353 ÷ 217
    45353 ÷ 131072     		x = 0.346015930175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95033 ÷ 217
    95033 ÷ 131072     		y = 0.725044250488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346015930175781 × 2 - 1) × π
    -0.307968139648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.96751045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725044250488281 × 2 - 1) × π
    -0.450088500976562 × 3.1415926535     		Φ = -1.4139947280928
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96751045} λ = -0.96751045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4139947280928))-π/2
    2×atan(0.243169942531488)-π/2
    2×0.238540115360946-π/2
    0.477080230721893-1.57079632675     		φ = -1.09371610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96751045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.434265°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09371610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.665317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45353 KachelY 95033 -0.96751045 -1.09371610 -55.434265 -62.665317
    Oben rechts KachelX + 1 45354 KachelY 95033 -0.96746251 -1.09371610 -55.431519 -62.665317
    Unten links KachelX 45353 KachelY + 1 95034 -0.96751045 -1.09373811 -55.434265 -62.666578
    Unten rechts KachelX + 1 45354 KachelY + 1 95034 -0.96746251 -1.09373811 -55.431519 -62.666578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09371610--1.09373811) × R
    2.20100000001278e-05 × 6371000     		dl = 140.225710000814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09371610--1.09373811) × R
    2.20100000001278e-05 × 6371000     		dr = 140.225710000814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96751045--0.96746251) × cos(-1.09371610) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.459187386862843 × 6371000     		do = 140.247647431158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96751045--0.96746251) × cos(-1.09373811) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.459167834400755 × 6371000     		du = 140.241675605956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09371610)-sin(-1.09373811))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459187386862843-0.459167834400755)×R²
    abs(-0.96746251--0.96751045)×1.95524620877907e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95524620877907e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95524620877907e-05×40589641000000     		ar = 19665.9072361419m²