Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45351 / 95111
↖ ↑ ↗
← S 62.763526°
W 55.439758°		 ← 139.78 m → S 62.763526°
W 55.437012°		 →
↑
139.78 m
↓
↑
139.78 m
↓
S 62.764783°
W 55.439758°		 ← 139.78 m →
19 538 m²		 S 62.764783°
W 55.437012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346004486083984 y=0.725643157958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346004486083984 × 217)
    floor (0.346004486083984 × 131072)
    floor (45351.5)     		tx = 45351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725643157958984 × 217)
    floor (0.725643157958984 × 131072)
    floor (95111.5)     		ty = 95111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45351 / 95111 ti = "17/45351/95111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45351/95111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45351 ÷ 217
    45351 ÷ 131072     		x = 0.346000671386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95111 ÷ 217
    95111 ÷ 131072     		y = 0.725639343261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346000671386719 × 2 - 1) × π
    -0.307998657226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.96760632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725639343261719 × 2 - 1) × π
    -0.451278686523438 × 3.1415926535     		Φ = -1.41773380626316
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96760632} λ = -0.96760632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41773380626316))-π/2
    2×atan(0.242262408834727)-π/2
    2×0.237683071162349-π/2
    0.475366142324698-1.57079632675     		φ = -1.09543018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96760632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.439758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09543018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.763526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45351 KachelY 95111 -0.96760632 -1.09543018 -55.439758 -62.763526
    Oben rechts KachelX + 1 45352 KachelY 95111 -0.96755838 -1.09543018 -55.437012 -62.763526
    Unten links KachelX 45351 KachelY + 1 95112 -0.96760632 -1.09545212 -55.439758 -62.764783
    Unten rechts KachelX + 1 45352 KachelY + 1 95112 -0.96755838 -1.09545212 -55.437012 -62.764783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09543018--1.09545212) × R
    2.19400000001091e-05 × 6371000     		dl = 139.779740000695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09543018--1.09545212) × R
    2.19400000001091e-05 × 6371000     		dr = 139.779740000695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96760632--0.96755838) × cos(-1.09543018) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.457664028195237 × 6371000     		do = 139.782374482819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96760632--0.96755838) × cos(-1.09545212) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.457644520678001 × 6371000     		du = 139.776416384932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09543018)-sin(-1.09545212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457664028195237-0.457644520678001)×R²
    abs(-0.96755838--0.96760632)×1.95075172356174e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95075172356174e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95075172356174e-05×40589641000000     		ar = 19538.3275520588m²