Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4535 / 4824
↖ ↑ ↗
← S 30.448674°
E 19.291992°		 ← 4 212.57 m → S 30.448674°
E 19.335937°		 →
↑
4 211.74 m
↓
↑
4 211.74 m
↓
S 30.486551°
E 19.291992°		 ← 4 210.93 m →
17 738 783 m²		 S 30.486551°
E 19.335937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55364990234375 y=0.58892822265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55364990234375 × 213)
    floor (0.55364990234375 × 8192)
    floor (4535.5)     		tx = 4535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58892822265625 × 213)
    floor (0.58892822265625 × 8192)
    floor (4824.5)     		ty = 4824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4535 / 4824 ti = "13/4535/4824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4535/4824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4535 ÷ 213
    4535 ÷ 8192     		x = 0.5535888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4824 ÷ 213
    4824 ÷ 8192     		y = 0.5888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5535888671875 × 2 - 1) × π
    0.107177734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.33670878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5888671875 × 2 - 1) × π
    -0.177734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.558369006774414
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33670878} λ = 0.33670878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.558369006774414))-π/2
    2×atan(0.572141462123288)-π/2
    2×0.519683359119876-π/2
    1.03936671823975-1.57079632675     		φ = -0.53142961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33670878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.291992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53142961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.448674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4535 KachelY 4824 0.33670878 -0.53142961 19.291992 -30.448674
    Oben rechts KachelX + 1 4536 KachelY 4824 0.33747577 -0.53142961 19.335937 -30.448674
    Unten links KachelX 4535 KachelY + 1 4825 0.33670878 -0.53209069 19.291992 -30.486551
    Unten rechts KachelX + 1 4536 KachelY + 1 4825 0.33747577 -0.53209069 19.335937 -30.486551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53142961--0.53209069) × R
    0.000661079999999981 × 6371000     		dl = 4211.74067999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53142961--0.53209069) × R
    0.000661079999999981 × 6371000     		dr = 4211.74067999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33670878-0.33747577) × cos(-0.53142961) × R
    0.000766990000000023 × 0.862083473545203 × 6371000     		do = 4212.56510889865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33670878-0.33747577) × cos(-0.53209069) × R
    0.000766990000000023 × 0.861748272126041 × 6371000     		du = 4210.92714941312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53142961)-sin(-0.53209069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862083473545203-0.861748272126041)×R²
    abs(0.33747577-0.33670878)×0.00033520141916199×R²
    0.000766990000000023×0.00033520141916199×6371000²
    0.000766990000000023×0.00033520141916199×40589641000000     		ar = 17738783.1520244m²