Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45348 / 94564
↖ ↑ ↗
← S 62.067880°
W 55.447998°		 ← 143.07 m → S 62.067880°
W 55.445251°		 →
↑
143.03 m
↓
↑
143.03 m
↓
S 62.069167°
W 55.447998°		 ← 143.06 m →
20 463 m²		 S 62.069167°
W 55.445251°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345981597900391 y=0.721469879150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345981597900391 × 217)
    floor (0.345981597900391 × 131072)
    floor (45348.5)     		tx = 45348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721469879150391 × 217)
    floor (0.721469879150391 × 131072)
    floor (94564.5)     		ty = 94564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45348 / 94564 ti = "17/45348/94564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45348/94564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45348 ÷ 217
    45348 ÷ 131072     		x = 0.345977783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94564 ÷ 217
    94564 ÷ 131072     		y = 0.721466064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345977783203125 × 2 - 1) × π
    -0.30804443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.96775013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721466064453125 × 2 - 1) × π
    -0.44293212890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.39151232217099
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96775013} λ = -0.96775013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39151232217099))-π/2
    2×atan(0.248698907215046)-π/2
    2×0.243753730823943-π/2
    0.487507461647885-1.57079632675     		φ = -1.08328887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96775013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.447998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08328887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.067880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45348 KachelY 94564 -0.96775013 -1.08328887 -55.447998 -62.067880
    Oben rechts KachelX + 1 45349 KachelY 94564 -0.96770219 -1.08328887 -55.445251 -62.067880
    Unten links KachelX 45348 KachelY + 1 94565 -0.96775013 -1.08331132 -55.447998 -62.069167
    Unten rechts KachelX + 1 45349 KachelY + 1 94565 -0.96770219 -1.08331132 -55.445251 -62.069167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08328887--1.08331132) × R
    2.24499999998962e-05 × 6371000     		dl = 143.028949999338m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08328887--1.08331132) × R
    2.24499999998962e-05 × 6371000     		dr = 143.028949999338m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96775013--0.96770219) × cos(-1.08328887) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.468425175732206 × 6371000     		do = 143.069105932545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96775013--0.96770219) × cos(-1.08331132) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.468405340967955 × 6371000     		du = 143.063047884996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08328887)-sin(-1.08331132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.468425175732206-0.468405340967955)×R²
    abs(-0.96770219--0.96775013)×1.98347642509367e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.98347642509367e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.98347642509367e-05×40589641000000     		ar = 20462.5907617648m²