Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45347 / 95019
↖ ↑ ↗
← S 62.647655°
W 55.450745°		 ← 140.33 m → S 62.647655°
W 55.447998°		 →
↑
140.29 m
↓
↑
140.29 m
↓
S 62.648916°
W 55.450745°		 ← 140.33 m →
19 687 m²		 S 62.648916°
W 55.447998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345973968505859 y=0.724941253662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345973968505859 × 217)
    floor (0.345973968505859 × 131072)
    floor (45347.5)     		tx = 45347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724941253662109 × 217)
    floor (0.724941253662109 × 131072)
    floor (95019.5)     		ty = 95019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45347 / 95019 ti = "17/45347/95019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45347/95019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45347 ÷ 217
    45347 ÷ 131072     		x = 0.345970153808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95019 ÷ 217
    95019 ÷ 131072     		y = 0.724937438964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345970153808594 × 2 - 1) × π
    -0.308059692382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.96779807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724937438964844 × 2 - 1) × π
    -0.449874877929688 × 3.1415926535     		Φ = -1.41332361149812
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96779807} λ = -0.96779807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41332361149812))-π/2
    2×atan(0.243333192689066)-π/2
    2×0.238694245437391-π/2
    0.477388490874781-1.57079632675     		φ = -1.09340784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96779807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.450745°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09340784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.647655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45347 KachelY 95019 -0.96779807 -1.09340784 -55.450745 -62.647655
    Oben rechts KachelX + 1 45348 KachelY 95019 -0.96775013 -1.09340784 -55.447998 -62.647655
    Unten links KachelX 45347 KachelY + 1 95020 -0.96779807 -1.09342986 -55.450745 -62.648916
    Unten rechts KachelX + 1 45348 KachelY + 1 95020 -0.96775013 -1.09342986 -55.447998 -62.648916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09340784--1.09342986) × R
    2.2020000000067e-05 × 6371000     		dl = 140.289420000427m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09340784--1.09342986) × R
    2.2020000000067e-05 × 6371000     		dr = 140.289420000427m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96779807--0.96775013) × cos(-1.09340784) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.459461204554383 × 6371000     		do = 140.331278402222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96779807--0.96775013) × cos(-1.09342986) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.459441646326574 × 6371000     		du = 140.32530481602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09340784)-sin(-1.09342986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459461204554383-0.459441646326574)×R²
    abs(-0.96775013--0.96779807)×1.95582278089135e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95582278089135e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95582278089135e-05×40589641000000     		ar = 19686.5746403604m²