Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45347 / 94565
↖ ↑ ↗
← S 62.069167°
W 55.450745°		 ← 143.06 m → S 62.069167°
W 55.447998°		 →
↑
143.03 m
↓
↑
143.03 m
↓
S 62.070453°
W 55.450745°		 ← 143.06 m →
20 462 m²		 S 62.070453°
W 55.447998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345973968505859 y=0.721477508544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345973968505859 × 217)
    floor (0.345973968505859 × 131072)
    floor (45347.5)     		tx = 45347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721477508544922 × 217)
    floor (0.721477508544922 × 131072)
    floor (94565.5)     		ty = 94565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45347 / 94565 ti = "17/45347/94565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45347/94565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45347 ÷ 217
    45347 ÷ 131072     		x = 0.345970153808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94565 ÷ 217
    94565 ÷ 131072     		y = 0.721473693847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345970153808594 × 2 - 1) × π
    -0.308059692382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.96779807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721473693847656 × 2 - 1) × π
    -0.442947387695312 × 3.1415926535     		Φ = -1.39156025907061
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96779807} λ = -0.96779807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39156025907061))-π/2
    2×atan(0.248686985646239)-π/2
    2×0.243742503636277-π/2
    0.487485007272555-1.57079632675     		φ = -1.08331132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96779807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.450745°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08331132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.069167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45347 KachelY 94565 -0.96779807 -1.08331132 -55.450745 -62.069167
    Oben rechts KachelX + 1 45348 KachelY 94565 -0.96775013 -1.08331132 -55.447998 -62.069167
    Unten links KachelX 45347 KachelY + 1 94566 -0.96779807 -1.08333377 -55.450745 -62.070453
    Unten rechts KachelX + 1 45348 KachelY + 1 94566 -0.96775013 -1.08333377 -55.447998 -62.070453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08331132--1.08333377) × R
    2.24500000001182e-05 × 6371000     		dl = 143.028950000753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08331132--1.08333377) × R
    2.24500000001182e-05 × 6371000     		dr = 143.028950000753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96779807--0.96775013) × cos(-1.08331132) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.468405340967955 × 6371000     		do = 143.063047884996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96779807--0.96775013) × cos(-1.08333377) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.468385505967626 × 6371000     		du = 143.056989765343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08331132)-sin(-1.08333377))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.468405340967955-0.468385505967626)×R²
    abs(-0.96775013--0.96779807)×1.98350003285941e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.98350003285941e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.98350003285941e-05×40589641000000     		ar = 20461.7242805893m²