Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45345 / 95068
↖ ↑ ↗
← S 62.709425°
W 55.456238°		 ← 140.04 m → S 62.709425°
W 55.453491°		 →
↑
140.03 m
↓
↑
140.03 m
↓
S 62.710684°
W 55.456238°		 ← 140.03 m →
19 610 m²		 S 62.710684°
W 55.453491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345958709716797 y=0.725315093994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345958709716797 × 217)
    floor (0.345958709716797 × 131072)
    floor (45345.5)     		tx = 45345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725315093994141 × 217)
    floor (0.725315093994141 × 131072)
    floor (95068.5)     		ty = 95068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45345 / 95068 ti = "17/45345/95068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45345/95068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45345 ÷ 217
    45345 ÷ 131072     		x = 0.345954895019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95068 ÷ 217
    95068 ÷ 131072     		y = 0.725311279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345954895019531 × 2 - 1) × π
    -0.308090209960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.96789394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725311279296875 × 2 - 1) × π
    -0.45062255859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.4156725195795
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96789394} λ = -0.96789394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4156725195795))-π/2
    2×atan(0.242762296140536)-π/2
    2×0.238155191977309-π/2
    0.476310383954617-1.57079632675     		φ = -1.09448594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96789394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.456238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09448594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.709425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45345 KachelY 95068 -0.96789394 -1.09448594 -55.456238 -62.709425
    Oben rechts KachelX + 1 45346 KachelY 95068 -0.96784600 -1.09448594 -55.453491 -62.709425
    Unten links KachelX 45345 KachelY + 1 95069 -0.96789394 -1.09450792 -55.456238 -62.710684
    Unten rechts KachelX + 1 45346 KachelY + 1 95069 -0.96784600 -1.09450792 -55.453491 -62.710684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09448594--1.09450792) × R
    2.1980000000088e-05 × 6371000     		dl = 140.034580000561m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09448594--1.09450792) × R
    2.1980000000088e-05 × 6371000     		dr = 140.034580000561m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96789394--0.96784600) × cos(-1.09448594) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.458503371633705 × 6371000     		do = 140.038731573627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96789394--0.96784600) × cos(-1.09450792) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.458483838058107 × 6371000     		du = 140.032765516846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09448594)-sin(-1.09450792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458503371633705-0.458483838058107)×R²
    abs(-0.96784600--0.96789394)×1.95335755978632e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95335755978632e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95335755978632e-05×40589641000000     		ar = 19609.8472333697m²