Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45343 / 94429
↖ ↑ ↗
← S 61.893696°
W 55.461731°		 ← 143.86 m → S 61.893696°
W 55.458985°		 →
↑
143.92 m
↓
↑
143.92 m
↓
S 61.894990°
W 55.461731°		 ← 143.85 m →
20 704 m²		 S 61.894990°
W 55.458985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345943450927734 y=0.720439910888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345943450927734 × 217)
    floor (0.345943450927734 × 131072)
    floor (45343.5)     		tx = 45343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720439910888672 × 217)
    floor (0.720439910888672 × 131072)
    floor (94429.5)     		ty = 94429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45343 / 94429 ti = "17/45343/94429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45343/94429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45343 ÷ 217
    45343 ÷ 131072     		x = 0.345939636230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94429 ÷ 217
    94429 ÷ 131072     		y = 0.720436096191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345939636230469 × 2 - 1) × π
    -0.308120727539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.96798981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.720436096191406 × 2 - 1) × π
    -0.440872192382812 × 3.1415926535     		Φ = -1.38504084072228
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96798981} λ = -0.96798981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38504084072228))-π/2
    2×atan(0.250313576595671)-π/2
    2×0.245273772257912-π/2
    0.490547544515825-1.57079632675     		φ = -1.08024878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96798981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.461731°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08024878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.893696°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45343 KachelY 94429 -0.96798981 -1.08024878 -55.461731 -61.893696
    Oben rechts KachelX + 1 45344 KachelY 94429 -0.96794188 -1.08024878 -55.458985 -61.893696
    Unten links KachelX 45343 KachelY + 1 94430 -0.96798981 -1.08027137 -55.461731 -61.894990
    Unten rechts KachelX + 1 45344 KachelY + 1 94430 -0.96794188 -1.08027137 -55.458985 -61.894990
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08024878--1.08027137) × R
    2.25899999999335e-05 × 6371000     		dl = 143.920889999576m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08024878--1.08027137) × R
    2.25899999999335e-05 × 6371000     		dr = 143.920889999576m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96798981--0.96794188) × cos(-1.08024878) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.4711089361272 × 6371000     		do = 143.858781086697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96798981--0.96794188) × cos(-1.08027137) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.471089009931918 × 6371000     		du = 143.852696383255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08024878)-sin(-1.08027137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.4711089361272-0.471089009931918)×R²
    abs(-0.96794188--0.96798981)×1.99261952817942e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.99261952817942e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.99261952817942e-05×40589641000000     		ar = 20703.845951152m²