Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45342 / 95052
↖ ↑ ↗
← S 62.689270°
W 55.464477°		 ← 140.13 m → S 62.689270°
W 55.461731°		 →
↑
140.10 m
↓
↑
140.10 m
↓
S 62.690530°
W 55.464477°		 ← 140.13 m →
19 632 m²		 S 62.690530°
W 55.461731°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95052 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345935821533203 y=0.725193023681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345935821533203 × 217)
    floor (0.345935821533203 × 131072)
    floor (45342.5)     		tx = 45342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725193023681641 × 217)
    floor (0.725193023681641 × 131072)
    floor (95052.5)     		ty = 95052
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45342 / 95052 ti = "17/45342/95052"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45342/95052.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45342 ÷ 217
    45342 ÷ 131072     		x = 0.345932006835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95052 ÷ 217
    95052 ÷ 131072     		y = 0.725189208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345932006835938 × 2 - 1) × π
    -0.308135986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.96803775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725189208984375 × 2 - 1) × π
    -0.45037841796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.41490552918558
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96803775} λ = -0.96803775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41490552918558))-π/2
    2×atan(0.242948563913347)-π/2
    2×0.238331085752963-π/2
    0.476662171505926-1.57079632675     		φ = -1.09413416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96803775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.464477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09413416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.689270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45342 KachelY 95052 -0.96803775 -1.09413416 -55.464477 -62.689270
    Oben rechts KachelX + 1 45343 KachelY 95052 -0.96798981 -1.09413416 -55.461731 -62.689270
    Unten links KachelX 45342 KachelY + 1 95053 -0.96803775 -1.09415615 -55.464477 -62.690530
    Unten rechts KachelX + 1 45343 KachelY + 1 95053 -0.96798981 -1.09415615 -55.461731 -62.690530
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09413416--1.09415615) × R
    2.19900000000273e-05 × 6371000     		dl = 140.098290000174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09413416--1.09415615) × R
    2.19900000000273e-05 × 6371000     		dr = 140.098290000174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96803775--0.96798981) × cos(-1.09413416) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.458815967564309 × 6371000     		do = 140.134206417378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96803775--0.96798981) × cos(-1.09415615) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.458796428649635 × 6371000     		du = 140.128238729905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09413416)-sin(-1.09415615))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458815967564309-0.458796428649635)×R²
    abs(-0.96798981--0.96803775)×1.95389146737113e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.95389146737113e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.95389146737113e-05×40589641000000     		ar = 19632.1446590286m²