Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45340 / 95016
↖ ↑ ↗
← S 62.643868°
W 55.469970°		 ← 140.32 m → S 62.643868°
W 55.467224°		 →
↑
140.29 m
↓
↑
140.29 m
↓
S 62.645130°
W 55.469970°		 ← 140.31 m →
19 685 m²		 S 62.645130°
W 55.467224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345920562744141 y=0.724918365478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345920562744141 × 217)
    floor (0.345920562744141 × 131072)
    floor (45340.5)     		tx = 45340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724918365478516 × 217)
    floor (0.724918365478516 × 131072)
    floor (95016.5)     		ty = 95016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45340 / 95016 ti = "17/45340/95016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45340/95016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45340 ÷ 217
    45340 ÷ 131072     		x = 0.345916748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95016 ÷ 217
    95016 ÷ 131072     		y = 0.72491455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345916748046875 × 2 - 1) × π
    -0.30816650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.96813362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72491455078125 × 2 - 1) × π
    -0.4498291015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.41317980079926
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96813362} λ = -0.96813362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41317980079926))-π/2
    2×atan(0.243368189121933)-π/2
    2×0.238727285266173-π/2
    0.477454570532346-1.57079632675     		φ = -1.09334176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96813362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.469970°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09334176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.643868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45340 KachelY 95016 -0.96813362 -1.09334176 -55.469970 -62.643868
    Oben rechts KachelX + 1 45341 KachelY 95016 -0.96808569 -1.09334176 -55.467224 -62.643868
    Unten links KachelX 45340 KachelY + 1 95017 -0.96813362 -1.09336378 -55.469970 -62.645130
    Unten rechts KachelX + 1 45341 KachelY + 1 95017 -0.96808569 -1.09336378 -55.467224 -62.645130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09334176--1.09336378) × R
    2.2020000000067e-05 × 6371000     		dl = 140.289420000427m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09334176--1.09336378) × R
    2.2020000000067e-05 × 6371000     		dr = 140.289420000427m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96813362--0.96808569) × cos(-1.09334176) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.459519895664419 × 6371000     		do = 140.319928165561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96813362--0.96808569) × cos(-1.09336378) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.459500338105192 × 6371000     		du = 140.313956029574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09334176)-sin(-1.09336378))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459519895664419-0.459500338105192)×R²
    abs(-0.96808569--0.96813362)×1.95575592268904e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.95575592268904e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.95575592268904e-05×40589641000000     		ar = 19684.9824238267m²