Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45340 / 94508
↖ ↑ ↗
← S 61.995747°
W 55.469970°		 ← 143.38 m → S 61.995747°
W 55.467224°		 →
↑
143.41 m
↓
↑
143.41 m
↓
S 61.997036°
W 55.469970°		 ← 143.37 m →
20 562 m²		 S 61.997036°
W 55.467224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345920562744141 y=0.721042633056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345920562744141 × 217)
    floor (0.345920562744141 × 131072)
    floor (45340.5)     		tx = 45340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721042633056641 × 217)
    floor (0.721042633056641 × 131072)
    floor (94508.5)     		ty = 94508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45340 / 94508 ti = "17/45340/94508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45340/94508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45340 ÷ 217
    45340 ÷ 131072     		x = 0.345916748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94508 ÷ 217
    94508 ÷ 131072     		y = 0.721038818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345916748046875 × 2 - 1) × π
    -0.30816650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.96813362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721038818359375 × 2 - 1) × π
    -0.44207763671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.38882785579227
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96813362} λ = -0.96813362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38882785579227))-π/2
    2×atan(0.24936742797918)-π/2
    2×0.244383212668151-π/2
    0.488766425336302-1.57079632675     		φ = -1.08202990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96813362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.469970°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08202990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.995747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45340 KachelY 94508 -0.96813362 -1.08202990 -55.469970 -61.995747
    Oben rechts KachelX + 1 45341 KachelY 94508 -0.96808569 -1.08202990 -55.467224 -61.995747
    Unten links KachelX 45340 KachelY + 1 94509 -0.96813362 -1.08205241 -55.469970 -61.997036
    Unten rechts KachelX + 1 45341 KachelY + 1 94509 -0.96808569 -1.08205241 -55.467224 -61.997036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08202990--1.08205241) × R
    2.25099999999756e-05 × 6371000     		dl = 143.411209999845m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08202990--1.08205241) × R
    2.25099999999756e-05 × 6371000     		dr = 143.411209999845m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96813362--0.96808569) × cos(-1.08202990) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.469537108198504 × 6371000     		do = 143.378804519913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96813362--0.96808569) × cos(-1.08205241) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.469517233713802 × 6371000     		du = 143.372735606919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08202990)-sin(-1.08205241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.469537108198504-0.469517233713802)×R²
    abs(-0.96808569--0.96813362)×1.98744847019761e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.98744847019761e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.98744847019761e-05×40589641000000     		ar = 20561.6926703459m²