Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4534 / 13144
↖ ↑ ↗
← S 72.971189°
W 80.375977°		 ← 715.50 m → S 72.971189°
W 80.354004°		 →
↑
715.34 m
↓
↑
715.34 m
↓
S 72.977622°
W 80.375977°		 ← 715.24 m →
511 730 m²		 S 72.977622°
W 80.354004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276763916015625 y=0.802276611328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276763916015625 × 214)
    floor (0.276763916015625 × 16384)
    floor (4534.5)     		tx = 4534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802276611328125 × 214)
    floor (0.802276611328125 × 16384)
    floor (13144.5)     		ty = 13144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4534 / 13144 ti = "14/4534/13144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4534/13144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4534 ÷ 214
    4534 ÷ 16384     		x = 0.2767333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13144 ÷ 214
    13144 ÷ 16384     		y = 0.80224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2767333984375 × 2 - 1) × π
    -0.446533203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.40282543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80224609375 × 2 - 1) × π
    -0.6044921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.89906821534814
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40282543} λ = -1.40282543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89906821534814))-π/2
    2×atan(0.149708049916028)-π/2
    2×0.148604409633494-π/2
    0.297208819266988-1.57079632675     		φ = -1.27358751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40282543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.375977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27358751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.971189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4534 KachelY 13144 -1.40282543 -1.27358751 -80.375977 -72.971189
    Oben rechts KachelX + 1 4535 KachelY 13144 -1.40244194 -1.27358751 -80.354004 -72.971189
    Unten links KachelX 4534 KachelY + 1 13145 -1.40282543 -1.27369979 -80.375977 -72.977622
    Unten rechts KachelX + 1 4535 KachelY + 1 13145 -1.40244194 -1.27369979 -80.354004 -72.977622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27358751--1.27369979) × R
    0.000112279999999965 × 6371000     		dl = 715.335879999775m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27358751--1.27369979) × R
    0.000112279999999965 × 6371000     		dr = 715.335879999775m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40282543--1.40244194) × cos(-1.27358751) × R
    0.000383489999999931 × 0.292852539805578 × 6371000     		do = 715.501656541922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40282543--1.40244194) × cos(-1.27369979) × R
    0.000383489999999931 × 0.292745180582519 × 6371000     		du = 715.239354900302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27358751)-sin(-1.27369979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292852539805578-0.292745180582519)×R²
    abs(-1.40244194--1.40282543)×0.000107359223058767×R²
    0.000383489999999931×0.000107359223058767×6371000²
    0.000383489999999931×0.000107359223058767×40589641000000     		ar = 511730.190773643m²