Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45336 / 20793
↖ ↑ ↗
← N 54.797519°
E 69.038086°		 ← 352.10 m → N 54.797519°
E 69.043579°		 →
↑
352.13 m
↓
↑
352.13 m
↓
N 54.794352°
E 69.038086°		 ← 352.13 m →
123 988 m²		 N 54.794352°
E 69.043579°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.691780090332031 y=0.317283630371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.691780090332031 × 216)
    floor (0.691780090332031 × 65536)
    floor (45336.5)     		tx = 45336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317283630371094 × 216)
    floor (0.317283630371094 × 65536)
    floor (20793.5)     		ty = 20793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45336 / 20793 ti = "16/45336/20793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45336/20793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45336 ÷ 216
    45336 ÷ 65536     		x = 0.6917724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20793 ÷ 216
    20793 ÷ 65536     		y = 0.317276000976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6917724609375 × 2 - 1) × π
    0.383544921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.20494191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317276000976562 × 2 - 1) × π
    0.365447998046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.14808874590034
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20494191} λ = 1.20494191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14808874590034))-π/2
    2×atan(3.15216256513968)-π/2
    2×1.26359672203704-π/2
    2.52719344407407-1.57079632675     		φ = 0.95639712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20494191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 69.038086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95639712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.797519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45336 KachelY 20793 1.20494191 0.95639712 69.038086 54.797519
    Oben rechts KachelX + 1 45337 KachelY 20793 1.20503778 0.95639712 69.043579 54.797519
    Unten links KachelX 45336 KachelY + 1 20794 1.20494191 0.95634185 69.038086 54.794352
    Unten rechts KachelX + 1 45337 KachelY + 1 20794 1.20503778 0.95634185 69.043579 54.794352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95639712-0.95634185) × R
    5.52699999999406e-05 × 6371000     		dl = 352.125169999622m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95639712-0.95634185) × R
    5.52699999999406e-05 × 6371000     		dr = 352.125169999622m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20494191-1.20503778) × cos(0.95639712) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.57646770625061 × 6371000     		do = 352.099424777818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20494191-1.20503778) × cos(0.95634185) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.576512867588753 × 6371000     		du = 352.127008770832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95639712)-sin(0.95634185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.57646770625061-0.576512867588753)×R²
    abs(1.20503778-1.20494191)×4.51613381424742e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.51613381424742e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.51613381424742e-05×40589641000000     		ar = 123987.926347318m²