Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45335 / 95096
↖ ↑ ↗
← S 62.744665°
W 55.483704°		 ← 139.87 m → S 62.744665°
W 55.480957°		 →
↑
139.91 m
↓
↑
139.91 m
↓
S 62.745923°
W 55.483704°		 ← 139.87 m →
19 569 m²		 S 62.745923°
W 55.480957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345882415771484 y=0.725528717041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345882415771484 × 217)
    floor (0.345882415771484 × 131072)
    floor (45335.5)     		tx = 45335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725528717041016 × 217)
    floor (0.725528717041016 × 131072)
    floor (95096.5)     		ty = 95096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45335 / 95096 ti = "17/45335/95096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45335/95096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45335 ÷ 217
    45335 ÷ 131072     		x = 0.345878601074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95096 ÷ 217
    95096 ÷ 131072     		y = 0.72552490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345878601074219 × 2 - 1) × π
    -0.308242797851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.96837331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72552490234375 × 2 - 1) × π
    -0.4510498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.41701475276886
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96837331} λ = -0.96837331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41701475276886))-π/2
    2×atan(0.242436671110778)-π/2
    2×0.237847666226852-π/2
    0.475695332453705-1.57079632675     		φ = -1.09510099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96837331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.483704°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09510099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.744665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45335 KachelY 95096 -0.96837331 -1.09510099 -55.483704 -62.744665
    Oben rechts KachelX + 1 45336 KachelY 95096 -0.96832537 -1.09510099 -55.480957 -62.744665
    Unten links KachelX 45335 KachelY + 1 95097 -0.96837331 -1.09512295 -55.483704 -62.745923
    Unten rechts KachelX + 1 45336 KachelY + 1 95097 -0.96832537 -1.09512295 -55.480957 -62.745923
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09510099--1.09512295) × R
    2.19599999999875e-05 × 6371000     		dl = 139.907159999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09510099--1.09512295) × R
    2.19599999999875e-05 × 6371000     		dr = 139.907159999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96837331--0.96832537) × cos(-1.09510099) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.457956694519882 × 6371000     		do = 139.871762311921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96837331--0.96832537) × cos(-1.09512295) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.457937172529387 × 6371000     		du = 139.865799793528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09510099)-sin(-1.09512295))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457956694519882-0.457937172529387)×R²
    abs(-0.96832537--0.96837331)×1.952199049432e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.952199049432e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.952199049432e-05×40589641000000     		ar = 19568.6439304713m²