Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45334 / 94413
↖ ↑ ↗
← S 61.872986°
W 55.486450°		 ← 143.99 m → S 61.872986°
W 55.483704°		 →
↑
143.98 m
↓
↑
143.98 m
↓
S 61.874281°
W 55.486450°		 ← 143.98 m →
20 731 m²		 S 61.874281°
W 55.483704°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345874786376953 y=0.720317840576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345874786376953 × 217)
    floor (0.345874786376953 × 131072)
    floor (45334.5)     		tx = 45334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720317840576172 × 217)
    floor (0.720317840576172 × 131072)
    floor (94413.5)     		ty = 94413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45334 / 94413 ti = "17/45334/94413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45334/94413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45334 ÷ 217
    45334 ÷ 131072     		x = 0.345870971679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94413 ÷ 217
    94413 ÷ 131072     		y = 0.720314025878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345870971679688 × 2 - 1) × π
    -0.308258056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.96842125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.720314025878906 × 2 - 1) × π
    -0.440628051757812 × 3.1415926535     		Φ = -1.38427385032836
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96842125} λ = -0.96842125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38427385032836))-π/2
    2×atan(0.250505638349733)-π/2
    2×0.245454501396088-π/2
    0.490909002792177-1.57079632675     		φ = -1.07988732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96842125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.486450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07988732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.872986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45334 KachelY 94413 -0.96842125 -1.07988732 -55.486450 -61.872986
    Oben rechts KachelX + 1 45335 KachelY 94413 -0.96837331 -1.07988732 -55.483704 -61.872986
    Unten links KachelX 45334 KachelY + 1 94414 -0.96842125 -1.07990992 -55.486450 -61.874281
    Unten rechts KachelX + 1 45335 KachelY + 1 94414 -0.96837331 -1.07990992 -55.483704 -61.874281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07988732--1.07990992) × R
    2.25999999998727e-05 × 6371000     		dl = 143.984599999189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07988732--1.07990992) × R
    2.25999999998727e-05 × 6371000     		dr = 143.984599999189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96842125--0.96837331) × cos(-1.07988732) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.471427740187033 × 6371000     		do = 143.986166403058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96842125--0.96837331) × cos(-1.07990992) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.471407809020602 × 6371000     		du = 143.980078911802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07988732)-sin(-1.07990992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.471427740187033-0.471407809020602)×R²
    abs(-0.96837331--0.96842125)×1.99311664307311e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.99311664307311e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.99311664307311e-05×40589641000000     		ar = 20731.3523232983m²