Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45334 / 20787
↖ ↑ ↗
← N 54.816514°
E 69.027100°		 ← 351.97 m → N 54.816514°
E 69.032593°		 →
↑
352 m
↓
↑
352 m
↓
N 54.813348°
E 69.027100°		 ← 352 m →
123 898 m²		 N 54.813348°
E 69.032593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.691749572753906 y=0.317192077636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.691749572753906 × 216)
    floor (0.691749572753906 × 65536)
    floor (45334.5)     		tx = 45334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317192077636719 × 216)
    floor (0.317192077636719 × 65536)
    floor (20787.5)     		ty = 20787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45334 / 20787 ti = "16/45334/20787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45334/20787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45334 ÷ 216
    45334 ÷ 65536     		x = 0.691741943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20787 ÷ 216
    20787 ÷ 65536     		y = 0.317184448242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.691741943359375 × 2 - 1) × π
    0.38348388671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.20475016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317184448242188 × 2 - 1) × π
    0.365631103515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.14866398869579
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20475016} λ = 1.20475016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14866398869579))-π/2
    2×atan(3.15397634557738)-π/2
    2×1.2637624875206-π/2
    2.5275249750412-1.57079632675     		φ = 0.95672865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20475016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 69.027100°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95672865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.816514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45334 KachelY 20787 1.20475016 0.95672865 69.027100 54.816514
    Oben rechts KachelX + 1 45335 KachelY 20787 1.20484604 0.95672865 69.032593 54.816514
    Unten links KachelX 45334 KachelY + 1 20788 1.20475016 0.95667340 69.027100 54.813348
    Unten rechts KachelX + 1 45335 KachelY + 1 20788 1.20484604 0.95667340 69.032593 54.813348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95672865-0.95667340) × R
    5.52499999999512e-05 × 6371000     		dl = 351.997749999689m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95672865-0.95667340) × R
    5.52499999999512e-05 × 6371000     		dr = 351.997749999689m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20475016-1.20484604) × cos(0.95672865) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.576196774804041 × 6371000     		do = 351.970652660859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20475016-1.20484604) × cos(0.95667340) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.576241930357531 × 6371000     		du = 351.998235997539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95672865)-sin(0.95667340))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576196774804041-0.576241930357531)×R²
    abs(1.20484604-1.20475016)×4.51555534909387e-05×R²
    9.58800000001592e-05×4.51555534909387e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×4.51555534909387e-05×40589641000000     		ar = 123897.732470377m²