Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45333 / 95097
↖ ↑ ↗
← S 62.745923°
W 55.489197°		 ← 139.84 m → S 62.745923°
W 55.486450°		 →
↑
139.84 m
↓
↑
139.84 m
↓
S 62.747181°
W 55.489197°		 ← 139.83 m →
19 555 m²		 S 62.747181°
W 55.486450°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345867156982422 y=0.725536346435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345867156982422 × 217)
    floor (0.345867156982422 × 131072)
    floor (45333.5)     		tx = 45333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725536346435547 × 217)
    floor (0.725536346435547 × 131072)
    floor (95097.5)     		ty = 95097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45333 / 95097 ti = "17/45333/95097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45333/95097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45333 ÷ 217
    45333 ÷ 131072     		x = 0.345863342285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95097 ÷ 217
    95097 ÷ 131072     		y = 0.725532531738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345863342285156 × 2 - 1) × π
    -0.308273315429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.96846918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725532531738281 × 2 - 1) × π
    -0.451065063476562 × 3.1415926535     		Φ = -1.41706268966848
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96846918} λ = -0.96846918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41706268966848))-π/2
    2×atan(0.24242504972696)-π/2
    2×0.237836689948775-π/2
    0.47567337989755-1.57079632675     		φ = -1.09512295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96846918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.489197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09512295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.745923°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45333 KachelY 95097 -0.96846918 -1.09512295 -55.489197 -62.745923
    Oben rechts KachelX + 1 45334 KachelY 95097 -0.96842125 -1.09512295 -55.486450 -62.745923
    Unten links KachelX 45333 KachelY + 1 95098 -0.96846918 -1.09514490 -55.489197 -62.747181
    Unten rechts KachelX + 1 45334 KachelY + 1 95098 -0.96842125 -1.09514490 -55.486450 -62.747181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09512295--1.09514490) × R
    2.19500000000483e-05 × 6371000     		dl = 139.843450000308m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09512295--1.09514490) × R
    2.19500000000483e-05 × 6371000     		dr = 139.843450000308m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96846918--0.96842125) × cos(-1.09512295) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.457937172529387 × 6371000     		do = 139.83662461612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96846918--0.96842125) × cos(-1.09514490) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.457917659208003 × 6371000     		du = 139.830665988689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09512295)-sin(-1.09514490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457937172529387-0.457917659208003)×R²
    abs(-0.96842125--0.96846918)×1.95133213846677e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.95133213846677e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.95133213846677e-05×40589641000000     		ar = 19554.8193860958m²